Предыдущая страница реферата | 1  2  3  4  5  6  7  8 | Следующая страница реферата

Представим простой способ интерпретации коэффициентов линейного уравнения регрессии

[pic] когда у и х – переменные с простыми, естественными единицами измерения.

Во-первых, можно сказать, что увеличение х на одну единицу (в единицах измерения переменной х) приведет к увеличению значения у на b единиц (в единицах измерения переменной у). Вторым шагом является проверка, каковы действительны единицы измерения х и у, и замена слова “единица” фактическим количеством. Третьим шагом является проверка возможности более простого выражения результата, который может оказаться не вполне удобным.

Качество оценки: коэффициент R2

Цель регрессионного анализа состоит в объяснении поведения зависимой переменной[pic]. В любой данной выборке [pic]оказывается сравнительно низким в одних наблюдениях и сравнительно высоким – в других. Мы хотим знать, почему это так. Разброс значений [pic] в любой выборке можно суммарно описать с помощью выборочной дисперсии [pic]Мы должны рассчитывать величину этой дисперсии.

В парном регрессионном анализе мы пытаемся объяснить поведение
[pic]путем определения регрессионной зависимости [pic]от соответственно выбранной зависимой переменной[pic]. После построения уравнения регрессии мы можем разбить значение [pic] в каждом наблюдении на две составляющих
–[pic]и[pic]:

[pic] (1.5)
Величина[pic]– расчетное значение [pic]в наблюдении i – это то значение, которое имел бы [pic]при условии, что уравнение регрессии было правильным, и отсутствии случайного фактора. Это, иными словами, величина[pic], спрогнозированная по значению [pic]в данном наблюдении. Тогда остаток [pic] есть расхождение между фактическим и спрогнозированным значениями величины[pic]. Это та часть[pic], которую мы не можем объяснить с помощью уравнения регрессии.

Используя (1.5), разложим дисперсию[pic]:

[pic] (1.6)
Далее, оказывается, что [pic]должна быть равна нулю. Следовательно, мы получаем:

[pic] (1.7)

Это означает, что мы можем разложить [pic]на две части: [pic]– часть, которая “объясняется” уравнением регрессии в вышеописанном смысле, и [pic]–
“необъясненную” часть1.

Согласно (3),[pic]– это часть дисперсии[pic], объясненная уравнением регрессии. Это отношение известно как коэффициент детерминации, и его обычно обозначают R2:

[pic] (1.8) что равносильно

[pic]

(1.9)

Максимальное значение коэффициента R2 равно единице. Это происходит в том случае, когда линия регрессии точно соответствует всем наблюдениям, так что [pic]для всех i и все остатки равны нулю. Тогда [pic] и R2=1.

Если в выборке отсутствует видимая связь между [pic]и[pic], то коэффициент R2 будет близок к нулю.

При прочих равных условиях желательно, чтобы коэффициент R2 был как можно больше. В частности, мы заинтересованы в таком выборе коэффициентов a и b, чтобы максимизировать R2. Не противоречит ли это нашему критерию, в соответствие, с которым a и b должны быть выбраны таким образом, чтобы минимизировать сумму квадратов остатков? Что эти критерии эквивалентны, если (1.9) используется как определение коэффициента R2. Отметим сначала, что

[pic] (1.10) откуда, беря среднее значение ei по выборке и используя уравнение

[pic]

(1.11), получим:

[pic]. (1.12)

Следовательно,

[pic] (1.13)

Отсюда следует, что принцип минимизации суммы квадратов остатков эквивалентен минимизации дисперсии остатков при условии выполнения (1.12).

Рекомендуем скачать другие рефераты по теме: конспекты занятий в саду, курсовые работы бесплатно.





Предыдущая страница реферата | 1  2  3  4  5  6  7  8 | Следующая страница реферата