Предыдущая страница реферата | 1  2  3  4  5  6 | Следующая страница реферата

Уравнение движения центра масс (3.1) запишем для проекций ускорения и сил на ось x вдоль наклонной плоскости, а уравнение моментов (3.22) - для проекций углового ускорения и момента силы трения на ось y , совпадающую с осью цилиндра. Направления осей x и у выбраны согласованно, в том смысле, что положительному линейному ускорению оси цилиндра соответствует положительное же угловое ускорение вращения вокруг этой оси. В итоге получим:
|[pic] |

откуда
|[pic] |(3.27) |

Следует подчеркнуть, что [pic]- сила трения сцепления - может принимать любое значение в интервале от О до [pic](сила трения скольжения) в зависимости от параметров задачи. Работу эта сила не совершает, но обеспечивает ускоренное вращение цилиндра при его скатывании с наклонной плоскости. В данном случае
|[pic] |(3.28) |

Если цилиндр сплошной, то
|[pic] |(3.29) |

Качение без проскальзывания определяется условием
|[pic] |(3.30) |

где [pic]- коэффициент трения скольжения, [pic]- сила реакции опоры.
Это условие сводится к следующему:
|[pic] |(3.31) |

или
|[pic] |(3.32) |

Второй способ. Рассматривается вращение цилиндра относительно неподвижной оси, совпадающей в данный момент времени с мгновенной осью вращения (рис. 3.12).
|[pic] |
|Рис. 3.12. |

Мгновенная ось вращения проходит через точку соприкосновения цилиндра и плоскости (точку М). При таком подходе отпадает необходимость в уравнении движении центра масс и уравнении кинематической связи. Уравнение моментов относительно мгновенной оси имеет вид:
|[pic] |(3.33) |

Здесь
|[pic] |(3.34) |

В проекции на ось вращения (ось y)
|[pic] |(3.35) |

Ускорение центра масс выражается через угловое ускорение
|[pic] |(3.36) |

Кинетическая энергия при плоском движении.

Кинетическая энергия твердого тела представляет собой сумму кинетических энергий отдельных частиц:
|[pic] |(3.37) |

где [pic]- скорость центра масс тела, [pic]- скорость i-й частицы относительно системы координат, связанной с центром масс и совершающей поступательное движение вместе с ним. Возводя сумму скоростей в квадрат, получим:
|[pic] |(3.38) |

так как [pic](суммарный импульс частиц в системе центра масс равен нулю).

Таким образом, кинетическая энергия при плоском движении равна сумме кинетических энергий поступательного и вращательного движений (теорема
Кенига). Если рассматривать плоское движение как вращение вокруг мгновенной оси, то кинетическая энергия тела есть энергия вращательного движения.

В этой связи задачу о скатывании цилиндра с наклонной плоскости можно решить, используя закон сохранения механической энергии (напомним, что сила трения при качении без проскальзывания работу не совершает).

Приращение кинетической энергии цилиндра равно убыли его потенциальное энергии:
|[pic] |(3.39) |

Здесь [pic]- длина наклонной плоскости, [pic]- момент инерции цилиндра относительно мгновенной оси вращения.

Поскольку скорость оси цилиндра [pic]то
|[pic] |(3.40) |

Дифференцируя обе части этого уравнения по времени, получим
|[pic] |(3.41) |

откуда для линейного ускорения [pic]оси цилиндра будем иметь то же выражение, что и при чисто динамическом способе решения (см. (3.27, 3.36)).

Замечание. Если цилиндр катится с проскальзыванием, то изменение его кинетической энергии будет определяться также и работой сил трения.
Последняя, в отличие от случая, когда тело скользит по шероховатой поверхности, не вращаясь, определяется, в соответствии с (3.14), полным углом поворота цилиндра, а не расстоянием, на которое переместилась его ось.

Заключение

Рекомендуем скачать другие рефераты по теме: сочинение 6 класс, шпаргалки по истории россии.





Предыдущая страница реферата | 1  2  3  4  5  6 | Следующая страница реферата