Предыдущая страница реферата | 1  2  3  4  5  6  7  8  9  10  11 | Следующая страница реферата

(13)

Полученное интегрально - дифференциальное уравнение носит название уравнения Больцмана.

Рассмотрим не зависящее от времени распределение в состоянии равновесия системы в отсутствии внешних воздействий. Такое распределение является стационарным (не зависит от времени) и однородным (не изменяется в области пространства, занимаемой системой). Наложенные условия обнуляют производную функции распределения по времени и трём координатам; левая часть кинетического уравнения обращается в нуль. Подынтегральное выражение обращается в нуль вследствие равенства (3). Следовательно, равновесное распределение в отсутствии внешних полей удовлетворяет кинетическому уравнению тождественным образом. Если газ находится в равновесном состоянии под действием внешнего потенциального (например, гравитационного) поля, то функция распределения и в этом случае удовлетворяет кинетическому уравнению. Действительно, равновесное распределение выражается через интеграл движения – полную энергию молекулы . Левая часть кинетического уравнения представляет собой полную производную , которая равна нулю как производная от функции, зависящей только от интегралов движения. Правая часть уравнения, как уже было указано, есть нуль. Таким образом, кинетическому уравнению удовлетворяет и функция распределения газа, находящегося в равновесии во внешнем потенциальном поле.
К указанным во “Введении” допущениям добавим ещё одно: столкновения молекул рассматриваются как мгновенные акты, происходящие в одной “точке” пространства. Кинетическое уравнение описывает процес, который протекает в интервале времени, много большем по сравнению с длительностью столкновений.
В то же время, рассматриваемая область системы должна значительно превышать область столкновения частиц, которая имеет размеры порядка величины радиуса действия молекулярных сил d. Время столкновения по порядку величины может быть определено как ( - средняя скорость движения молекул в газе). Полученные значения представляют собой нижний предел расстояния и времени, при рассмотрении которых допускается применение кинетического уравнения. Реальные физические задачи не требуют столь детального описания процесса; размеры системы и время наблюдения значительно превышают требуемый минимум.
Для качественного рассмотрения кинетических явлений, протекающих в газе, используют грубые оценки интеграла столкновений через два параметра: длины свободного пробега и времени свободного пробега . Пусть при движении молекула прошла единицу длины, столкнувшись при этом с молекулами, находящимися в объеме прямого цилиндра единичной длины и площадью основания

( - эффективное сечение молекулы). В этом объёме имеется молекул.

- среднее расстояние между молекулами;

Величина - время свободного пробега. Для грубой оценки интеграла столкновений можно использовать:

Записанная в числителе разность учитывает тот факт, что интеграл столкновений обращаются в нуль для равновесной функции распределения, а знак “минус” говорит о том, что столкновения являются механизмом установления статистического равновесия, т.е. стремятся уменьшить отклонение функции распределения от равновесной ( иными словами, любая система, выведенная из состояния равновесия, отвечающего минимальной внутренней энергии системы, и предоставленная самой себе, стремится вернуться в равновесное состояние).

(3 Переход к макроскопическим уравнениям. Гидродинамическое уравнение непрерывности.
Кинетическое уравнение Больцмана даёт микроскопическое описание эволюции состояния газа. Но на практике часто не требуется столь детально описывать процессы, поэтому при рассмотрении задач гидродинамики, задач о протекании процессов в неоднородных или сильно разреженных газах, задач о теплопроводности и диффузии газов и ряда других имеет смысл переходить к менее детальным (а следовательно более простым ) макроскопическим уравнениям. Такое описание применимо к газу, если его макроскопические свойства (температура, плотность, концентрация частиц, давление и т.п.) достаточно медленно меняются вдоль любого, произвольно выбранного направления в газе. Расстояния, на которых происходит существенное изменение макрокскопических параметров, должны значительно превышать длину свободного пробега молекул.
В качестве примера рассмотрим рассмотрим способ получения гидродинамического уравнения.
Выражение определяет плотность распределения молекул газа в пространстве (концентрацию молекул газа). Произведение массы одной молекулы (предполагается, что газ состоит из одинаковых частиц) на плотность распределения молекул даёт массовую плотность газа:
. Обозначим через макроскопическую скорость движения газа как целого, а через микроскопическую скорость молекул. Макроскопическая скорость (скорость движения центра масс) может быть определена как средняя величина от микроскопических скоростей молекул

Столкновения не изменяют ни количества сталкивающихся частиц ни их суммарной энергии или импульса (столкновение молекул считается абсолютно упругим ударом). Столкновительная часть изменения функции распределения не может привести к изменению плотности, внутренней энергии, скорости и любых других макроскопических параметров газа в каждом его элементе объёма.
Действительно, столкновительная часть изменения полного числа молекул в единице объёма газа даётся равным нулю интегралом:

(14)
Убедимся в справедливости этого равенства следующим способом:

Интегрирование производится по каждой из переменых , а значит можно, не меняя интеграла, произвести переобозначение переменных, например, во втором интеграле :

Последнее выражение, очевидно, равно нулю и, следовательно, справедливым является равенство (14).
Запишем кинетическое уравнение и, предварительно умножив обе его части на массу частицы m , интегрируем его по :

Отсюда немедленно получаем гидродинамическое уравнение непрерывности:

Задав в этом дифференциальном уравнении изменение плотности жидкости и считая жидкость несжимаемой, можно получить векторное поле направлений скоростей в любой точке жидкости.

(4. Слабо неоднородный газ. Теплопроводность газа.
Все реальные физические процессы обязательно протекают с некоторыми потерями энергии (т.е. происходит диссипация энергии – переход энергии упорядоченного движения в энергию хаотического движения, например, в тепловое движение молекул газа). Для рассмотрения диссипативных процессов
(теплопроводности или вязкости) в слабо неоднородном газе необходимо использовать следующее приближение: функцию распределения в малом участке газа следует считать не локально равновесной, как в случае однородного газа, а отличающейся от равновесной на некоторую достаточно малую (т.к. газ слабо неоднородный) величину . Функция распределения примет вид , а саму поправку запишем в виде . Функция должна удовлетворять определённым условиям. Если заданным плотностям числа частиц, энергии и импульса газа т.е. интегралам отвечает равновесная функция , то неравновесная функция должна приводить к тем же значениям этих величин
(интегралы с и должны совпадать ), что имеет место только когда

Преобразуем интеграл столкновений в кинетическом уравнении (13): подстановка выражений функции распределения и поправки , обнуление интегралов столкновений,содержащих равновесную функцию распределения, сокращение членов , не содержащих малой поправки . Члены первого порядка дадут . Символ введен для обозначения линейного интегрального оператора

Указанный интеграл обращается в нуль для функций вида

Запишем (без вывода) кинетическое уравнение для слабо неоднородного газа., сохранив для рассмотрения задачи о теплопроврдности в левой части уравнения только одно слагаемое с градиентом температуры

*************************************************
(4. Вычисление коэффициента теплопроводности одноатомного газа
Для вычисления коэффициента теплопроводности газа необходимо решать записанное выше уравнение с градиентом температуры .

Пусть - вектор-функция только величин . Тогда решение уравнения () будем искать в виде . При подстановке этого решения в уравнение () получаем множитель . Уравнение () справедливо при совершенно произвольных значениях вектора градиента температуры , тогда должны быть равными коэффициенты при в обеих частях равенства. В итоге для получаем уравнение

Уравнение не содержит градиента температуры и значит не имеет явной зависимости от координат. Функция обязательно должна удовлетворять указанным ранее условиям (). Первые два условия, очевидно, выполняются ( уравнение () не содержит никаких векторных параметров, вдоль которых могли бы быть направлены постоянные векторы- интегралы

И ). Третий интеграл представляет из себя дополнительное условие на функцию g. Если кинетическое уравнение решено и функция определена, то можно определить коэффициент теплопроводности, вычисляя поток энергии, точнее - его диссипативную часть, не связанную с конвективным переносом энергии (обозначим эту часть потока энергии через
). В отсутствии макроскопического движения в газе Q совпадает с полным потоком энергии Q, который может быть выражен через интеграл
Если система находится в рановесии , то и этот интеграл равен нулю за счёт интегрирования по всем возможным направлениям в газе.
При подстановке в () остаётся

В компонентах

Ввиду изотропии среды равновесного газа какие либо избранные направления в нём отсутствуют и тензор может выражаться лишь через единичный тензор
,т.е. сводится к скаляру

Таким образом поток энергии выражается как , где величина есть скалярный коэффициент теплопроводности

Рекомендуем скачать другие рефераты по теме: вид дипломной работы, классы реферат.





Предыдущая страница реферата | 1  2  3  4  5  6  7  8  9  10  11 | Следующая страница реферата