Общая гидродинамика

| Категория реферата: Рефераты по физике
| Теги реферата: м реферат, 1 ответ
| Добавил(а) на сайт: Кылымнык.

Для количественных соотношений между компонентами тензора напряжений и тензора деформаций примем классический закон Гука о пропорциональности напряжений и деформаций, только в несколько обобщённом виде. Именно, в отличие от теории упругости, будем выражать зависимость напряжений не от деформаций, а от скоростей деформаций.

Начнём с составления зависимостей между главными направлениями, главными скоростями удлинений и другими главными элементами тензора скоростей деформаций, уже затем напишем зависимости между любыми компонентами обоих тензоров.

Согласно обобщённому закону Гука сделаем следующие предположения:
1. При отсутствии движения, то есть при равновесии жидкости; жидкость уже сжата (гидростатическое давление), и давление это имеет среднее значение
“[pic]”.
2. При движении может иметь место сжимаемость жидкости, это даёт дополнительное давление, пропорциональное скорости относительного объёмного сжатия, то есть “[pic]”.
3. Главная деформация даёт слагаемое напряжение, пропорциональное главной скорости деформаций или главной скорости относительного удлинения; мы обозначим это слагаемое “[pic]”. Здесь ( и ( две постоянные величины, зависящие от свойств жидкости.

При этих предположениях можно написать следующую форму для главных напряжений:

[pic] (24)

Если просуммировать обе части этого уравнения по i от 1 до 3, от будем иметь:

[pic] (25) или, замечая, что: [pic] и [pic] найдём: [pic] откуда следует:

[pic]
(26)

Таким образом, при сделанных предположениях всё сводится к одному коэффициенту (, и равенство (24) принимает вид:

[pic] (27)

Желая перейти теперь к вычислению любых (а не только главных) компонентов тензора напряжений, подставим значения [pic] из (27) в равенство (21), тогда получим:

[pic] (28)
Первая сумма в равенстве (28) равна 1 или 0, в зависимости от того равняется или не равняется индекс i индексу j. Это компоненты тензорной единицы. Обозначим её так:

[pic] (29)
Обратясь ко второй сумме заметим, что её можно представить следующим образом:

[pic] (30)
Так как при [pic] слагаемые, заключённые в скобку [pic] всё равно обратятся в нуль, как скорости сдвигов главных осей.

Таким образом в выражениях компонент тензора скоростей деформаций имеем:

[pic]
Можно переписать (30) в форме:

[pic] или по формуле преобразования компонент тензора к другим осям:

[pic] (31)

Подставляя выражения сумм из (29) и (31) в формулу (28), получим окончательное выражение для компонентов тензора напряжений:

[pic] (32) или в тензорном виде:

[pic] (33)
Здесь волной обозначены тензорные символы. Отсюда видно, что тензор напряжений раскладывается на два тензора: 1) диагональный тензор, равный произведению физического скаляра на тензорную единицу, и 2) симметричный тензор, пропорциональный тензору скоростей деформации. У первого тензора все направления являются главными осями; у второго тензора, главные оси являются главными осями деформаций или скоростей деформаций, так что у тензора напряжений те же главные оси, что и у тензора деформаций, о чём уже говорилось.

Напишем ещё формулу (32) в раскрытом виде, отделив касательные напряжения от нормальных. Имеем: а) касательные напряжения ([pic]):

[pic] (34) б) нормальные напряжения ([pic]):

[pic] (35)

Коэффициент (, входящий в эти формулы, носит название коэффициента вязкости или коэффициента внутреннего трения жидкости.