Общая гидродинамика

| Категория реферата: Рефераты по физике
| Теги реферата: м реферат, 1 ответ
| Добавил(а) на сайт: Кылымнык.

4. Вывод уравнений Навье-Стокса. Случай несжимаемой жидкости.

Получив выражение (32) для компонент тензора напряжений, легко найти динамическое уравнение движения вязкой жидкости, выраженное через скорости движения и их производные; для этого нужно в уравнение (30) или эквивалентную систему (14) подставит вместо [pic] их выражения по (34) и
(35).

В смысле выкладок проще всего поступить так: взять первое из уравнений (14) и, подставив в него значения [pic], [pic], [pic] из (34) и
(35), получим:

[pic] или перестановкой членов:
[pic]
Отсюда сразу следует:

[pic]
Аналогично получим, что вообще:

[pic] (36)
Эта система трёх уравнений эквивалентна одному векторному:

[pic] (37)
Последнее уравнение и есть известное уравнение Навье-Стокса, являющееся основным уравнением динамики вязкой жидкости; к нему присоединяется уравнение неразрывности (сохранения массы):

[pic] (17)
Так как [pic], откуда [pic], то уравнение Навье-Стокса принимает вид:

[pic] (37)
В случае жидкости переменной плотности мы имеем ещё уравнение процесса состояния:

[pic]
(38)

Система уравнений (37), (17) и (38) представляет собою систему пяти уравнений с пятью неизвестными: [pic], [pic], [pic]; [pic]; [pic]. Таким образом мы видим, что сделанные физические предположения действительно доопределили задачу.

В более общем случае движения с притоком тепла, уравнения состояния содержат ещё температуру; для определения задачи в этом случае добавляется ещё уравнение притока энергии.

В случае несжимаемой жидкости, для которой (=const и в пространстве и во времени система уравнений будет иметь вид:

[pic] (39)

К этому случаю относятся возможные движения капельных жидкостей
(вода, масло и др.), движение газов со скоростями, далёкими от скорости звука и при малых колебаниях температуры потока.