Торричелли

| Категория реферата: Рефераты по физике
| Теги реферата: курсовая работа по учету, bestreferat ru
| Добавил(а) на сайт: Sagadeev.

Итак, точка N имеет сумму расстояний, меньшую, чем точки М и М1, что противоречит допущению. ? (Это доказательство дано Н. М. Соловьевым).

Утверждение 2. Точка Торричелли не может лежать вне треугольника.

Предположим, что искомая точка М лежит вне треугольника и расположена так, как указано на рис. 2а.
[pic]

Рис. 2

Тогда МА + МВ + МС не может быть наименьшим, так как М1А + М1В + М1С <
МАґ + МВ + + МС (где М1 – точка пересечения прямой МС со стороной АВ).
Пусть точка М расположена так, как указано на рис. 9б, то есть точка М расположена внутри угла В1АС1. В этом случае МВ +МС > АВ + АС
(объемлющая более объемлемой), а поэтому МА +МВ + МС > АВ + АС.

Итак, точка, сумма расстояний которой до вершин треугольника имеет наименьшее значение, лежит либо внутри треугольника, либо совпадает с одной из его вершин.

Перейдем непосредственно к решению задачи о нахождении точки
Торричелли.

Пусть Р – произвольная точка внутри треугольника АВС.

Найдем сумму отрезков РА+РВ+РС. (Рис. 3)

Повернем ?ВРА на угол в 60° вокруг точки В так, чтобы он оказался вне треугольника АВС. Точка А займет положение А1, не зависящее от выбора точки
Р.

Точка Р займет положение Р1.
?РВР1 – равносторонний: РР1 = РВ
РА + РВ + РС = А1Р1 + Р1Р + РС.
[pic]
Рис. 3

Наименьшее значение будет для точки Р, лежащей на прямой А1С. Так как в этом случае Р1, Р, С лежат на одной прямой, то угол ВРС, смежный с углом равностороннего треугольника, равен 120°; т. к. угол А1Р1В, равный 120°, равен АВС, то и угол АРВ = 120°.

Итак, для отыскания точки Р строим на каждой из сторон сегмент, вмещающий угол в 120°. Точка пересечения дуг сегментов – искомая точка.

Точка Р находится внутри треугольника, если среди углов нет угла, равного или большего 120°.

Рассмотрим случаи: а) когда один из углов ?АВС равен 120°; б) когда один из углов ?АВС больше 120°.

а) В плоскости ?АВС с углом А = 120° найдем точку Торричелли.

? Построив равносторонние ?АСВ1 и ?АВС1, докажем, что вершина А – искомая точка. Покажем, что для всякой точки, лежащей внутри треугольника, например для точки Р, имеет место соотношение РА + РВ + РС > АВ +АС.
(Рис.4.)
[pic]
Рис. 4.

Построим на отрезке АР равносторонний треугольник АРР1. Из равенства
?В1Р1А = ?СРА (АВ1 = АС; АР1=АР; (РАС=(В1АР1) следует, что РС = Р1В1.

Итак:

РА + РВ + РС = РВ + РР1 + Р1В;

РВ + РР1 + Р1В1 > В1В;

РВ + РА + РС > АВ + АС.? б) В плоскости ?АВС с углом А > 120° найдем точку Торричелли.

Покажем, что искомой точкой является вершина тупого угла.
Возьмем произвольную точку Р внутри треугольника и покажем, что сумма РА +
РВ + РС > АВ + АС. (Рис.5.)
[pic]
Рис. 5

Построим равносторонние треугольники РАР1 и АВС1.
?АВР = ?АР1С1 (АР = АР1;
АВ = АС1; (РАВ = (Р1АС1).

Следовательно ВР=Р1С1; поэтому
РС + РА + РВ = РС +РР1 + Р1С1 и далее
РА + РВ + РС > АС + АС1;
РА + РВ + РС > АС +АВ.