Предыдущая страница реферата | 1  2  3  4  5  6 | Следующая страница реферата

У співвідношенні (11) інтеграл лівої частини рівності є функціонал, обчислений для довільного уявного руху. Перший інтеграл правої частини –той самий функціонал, обчислений для дійсного руху точки. Другий інтеграл правої частини у формулі (11) є головною, лінійною відносно ?q (відносно ?) частиною приросту цього функціоналу.

Головна, лінійна, частина приросту функціоналу називається першою його варіацією і позначається ?S або [pic] .

На підставі (11) і означення першої варіації функціоналу маємо:

[pic], (13) тобто операції інтегрування і варіювання комутативні (слід підкреслити, що доведена властивість справджується тільки за умови, що розглядаються уявні рухи у визначеному вище розумінні Остроградського, коли параметр t відіграє роль незалежної змінної).

Інші інтеграли правої частини формули (11) є послідовно так звані друга, третя і т. д. варіації функціоналу S, які позначаються так: ?2S,

?3S, ... . Тому ряд (11) можна переписати у вигляді

[pic] (14) або у вигляді приросту функціоналу

[pic] (15)

Розділ ІІ. Варіаційні принципи механіки

1 Принцип Остроградського-Гамільтона

Інтеграл із змінною верхньою границею

[pic] (16) називається дією за Остроградським. Розмірність дії є Дж(с, тобто вона така сама, як розмірність сталої Планка h, що характеризує елементарний «квант дії».

Принцип Остроградського — Гамільтона формулюється так:

Дійсний рух механічної системи з голономними в'язями відрізняється від усіх інших порівнюваних з ним кінематично можливих (у розумінні
Остроградського) рухів тим, що для дійсного руху системи варіація дії за
Остроградським, яку обчислено для довільного фіксованого проміжку часу, дорівнює нулю.

Принцип Остроградського — Гамільтона математично подається рівністю

[pic] (17)
Для доведення обчислимо варіацію дії:

[pic] (18)
Інтегруючи частинами, знайдемо:

[pic] (19)

Доданок — [pic]тут дорівнює нулю в початковий і кінцевий моменти часу, бо [pic], а [pic] (кінцеві точки траєкторій не варіюються).

Підставляючи (19) в (18), дістанемо:

[pic] (20)

За рівнянням Лагранжа підінтегральна функція в (20) дорівнює нулю; тому ?S = 0. Справедливість принципу доведена.

Якщо для функціонала S виконана умова ?S = 0, то говорять, що значення
S стаціонарне. Умова стаціонарності дії ?S = 0 вичерпно виражає закон руху механічної системи. Справді, вище показано, що з рівнянь руху Лагранжа випливає рівність ?S = 0. Але і, навпаки, з умови ?S = 0 випливають рівняння Лагранжа. Так, з довільності ?q слідує, що для всіх t підінтегральна функція в (20) дорівнює нулю, тобто випливають рівняння
Лагранжа.

Принцип стаціонарної дії Остроградського — Гамільтона інколи називають принципом найменшої (екстремальної) дії. З'ясуємо походження цього терміну.

2.2. Принцип екстремальної (найменшої) дії

Рекомендуем скачать другие рефераты по теме: экзамен, контрольная работа 10 класс.





Предыдущая страница реферата | 1  2  3  4  5  6 | Следующая страница реферата