Предыдущая страница реферата | 1  2  3  4  5  6  7  8  9  10  11 | Следующая страница реферата

В головоломке требовалось найти маршрут, проходящий по всем участкам суши таким образом, чтобы каждый из мостов был пройден ровно один раз, а начальный и конечный пункты маршрута совпадали.

§1. Основные понятия и определения

Дадим теперь строгое определение эйлерову циклу и эйлерову графу. Если граф имеет цикл (не обязательно простой), содержащий все ребра графа по одному разу, то такой цикл называется эйлеровым циклом, а граф называется эйлеровым графом. Если граф имеет цепь (не обязательно простую), содержащую все вершины по одному разу, то такая цепь называется эйлеровой цепью, а граф называется полуэйлеровым графом.

Ясно, что эйлеров цикл содержит не только все ребра по одному разу, но и все вершины графа (возможно, по несколько раз). Очевидно также, что эйлеровым может быть только связный граф.

Выберем в качестве вершин графа берега реки, а в качестве ребер - мосты, их соединяющие. После этого задача становится очевидной: требование неосуществимо - чтобы его выполнить, число дуг, приходящих к каждой вершине, должно быть четным. В самом деле, поскольку по одному мосту нельзя проходить дважды, каждому входу на берег должен соответствовать выход.

§2. Критерий существования эйлерова цикла

Что необходимо, чтобы в графе существовал эйлеров цикл? Во-первых, граф должен быть связанным: для любых двух вершин должен существовать путь, их соединяющий. Во-вторых, для неориентированных графов число ребер в каждой вершине должно быть четным. На самом деле этого оказывается достаточно.

Теорема 1. Чтобы в связанном неориентированном графе G существовал эйлеров цикл, необходимо и достаточно, чтобы число вершин нечетной степени было четным.

Доказательство.

Необходимость. Любой эйлеров цикл должен прийти в вершину по одному ребру и покинуть ее по другому, так как любое ребро должно использоваться ровно один раз. Поэтому, если G содержит эйлеров цикл, то степени вершин должны быть четными.

Достаточность. Пусть G — связный неориентированный граф, все вершины которого имеют четную степень. Начнем путь из некоторой произвольной вершины x0 и пойдем по некоторому ранее не использованному ребру к следующей вершине, и так до тех пор, пока не вернемся в вершину x0 и не замкнем цикл. Если все ребра окажутся использованными, то нужный эйлеров цикл построен. Если же некоторые ребра не использованы, то пусть Ф — только что построенный цикл. Так как граф G связен, то цикл Ф должен проходить через некоторую вершину, скажем xi, являющуюся конечной вершиной какого- либо до сих пор не использованного ребра. Если удалить все ребра, принадлежащие Ф, то в оставшемся графе все вершины по-прежнему будут иметь четную степень, так как в цикле Ф должно быть четное число ребер (0 является четным числом), инцидентных каждой вершине.

Начиная теперь с xi, получаем цикл Ф’, начинающийся и оканчивающийся в xi. Если все оставшиеся ранее ребра использованы для цикла Ф’, то процесс окончен. Нужный эйлеров цикл будет образован частью цикла Ф от вершины x0 до xi, затем циклом Ф’ и, наконец, частью цикла Ф от вершины xi до x0. Если же все еще остались неиспользованные ребра, то объединение построенных выше циклов Ф и Ф’ дает новый цикл Ф. Мы снова можем найти вершину xj, принадлежащую циклу и являющуюся концевой вершиной некоторого неиспользованного ребра. Затем мы можем приступить к построению нового цикла Ф’, начинавшегося в xj, и так до тех пор, пока не будут использованы все ребра и не будет получен таким образом эйлеров цикл Ф. Это доказывает теорему.

Хотя доказательство проведено для неориентированных графов, оно сразу переносится на ориентированные, только требование четности заменяется теперь на такое: число входящих в каждую вершину ребер должно быть равно числу выходящих.

Следствие #1.

Для связного эйлерова графа G множество ребер можно разбить на простые циклы.

Следствие #2.

Для того чтобы связный граф G покрывался единственной эйлеровой цепью, необходимо и достаточно, чтобы он содержал ровно 2 вершины с нечетной степенью. Тогда цепь начинается в одной из этих вершин и заканчивается в другой.

§3. Алгоритмы построения эйлерова цикла

Выше был установлен эффективный способ проверки наличия эйлерова цикла в графе. А именно, для этого необходимо и достаточно убедиться, что степени всех вершин четные, что нетрудно сделать при любом представлении графа.
Осталось заметить, что предложенный в доказательстве алгоритм линеен, т.е. число действий прямо пропорционально числу ребер.

Алгоритм построения эйлерова цикла в эйлеровом графе.
Вход: эйлеров граф G(V,E), заданный матрицей смежности. Для простоты укажем, что Г[v]— множество вершин, смежных с вершиной v.
Выход: последовательность вершин эйлерова цикла.

S:=Ш {стек для хранения вершин} select v[pic]V {произвольная вершина} v>S {положить v в стек S} while S?Ш do vS {v — верхний элемент стека} if Г[v]=Ш then vS {положить u в стек}

Г[v]:=Г[v]{u}; Г[u]:=Г[u]{v} {удалить ребро (v,u)} end if end while

Обоснование алгоритма.

Принцип действия этого алгоритма заключается в следующем. Начиная с произвольной вершины, строим путь, удаляя ребра и запоминая вершины в стеке, до тех пор пока множество смежности очередной вершины не окажется пустым, что означает, что путь удлинить нельзя. Заметим, что при этом мы с необходимостью придем в ту вершину, с которой начали. В противном случае это означало бы, что вершина v имеет нечетную степень, что невозможно по условию. Таким образом, из графа были удалены ребра цикла, а вершины цикла были сохранены в стеке S. Заметим, что при этом степени всех вершин остались четными. Далее вершина v выводится в качестве первой вершины эйлерова цикла, а процесс продолжается, начиная с вершины, стоящей на вершине стека.

Мне бы хотелось привести здесь еще один алгоритм построения эйлерова цикла в эйлеровом графе — это Алгоритм Флёри, он позволяет пронумеровать ребра исходного графа так, чтобы номер ребра указывал каким по счету это ребро войдет эйлеров цикл.

Рекомендуем скачать другие рефераты по теме: доклад на тему культура, реферат н.





Предыдущая страница реферата | 1  2  3  4  5  6  7  8  9  10  11 | Следующая страница реферата