Линейное программирование: решение задач графическим способом

| Категория реферата: Рефераты по информатике, программированию
| Теги реферата: рефераты по информатике бесплатно, инвестиции реферат
| Добавил(а) на сайт: Юдифь.

Линейное программирование - это наука о методах исследования и отыскания наибольших и наименьших значений линейной функции, на неизвестные которой наложены линейные ограничения. Таким образом, задачи линейного программирования относятся к задачам на условный экстремум функции.
Казалось бы, что для исследования линейной функции многих переменных на условный экстремум достаточно применить хорошо разработанные методы математического анализа, однако невозможность их использования можно довольно просто проиллюстрировать.

Действительно, путь необходимо исследовать на экстремум линейную функцию

Z = С1х1+С2х2+... +СNxN при линейных ограничениях a11x1 + a22x2 + ... + a1NХN = b1 a21x1 + a22x2 + ... + a2NХN = b2

. . . . . . . . . . . . . . . aМ1x1 + aМ2x2 + ... + aМNХN = bМ

Так как Z - линейная функция, то Z = Сj, (j = 1, 2, ..., n), то все коэффициенты линейной функции не могут быть равны нулю, следовательно, внутри области, образованной системой ограничений, экстремальные точки не существуют. Они могут быть на границе области, но исследовать точки границы невозможно, поскольку частные производные являются константами.

Для решения задач линейного программирования потребовалось создание специальных методов. Особенно широкое распространение линейное программирование получило в экономике, так как исследование зависимостей между величинами, встречающимися во многих экономических задачах, приводит к линейной функции с линейными ограничениями, наложенными на неизвестные.

Гл 1Математические основы решения задачи линейного программирования графическим способом

1.1 Математический аппарат

Для понимания всего дальнейшего полезно знать и представлять себе геометрическую интерпретацию задач линейного программирования, которую можно дать для случаев n =2 и n =3.

Наиболее наглядна эта интерпретация для случая n =2, т.е. для случая двух переменных [pic]и [pic]. Пусть нам задана задача линейного программирования в стандартной форме
|[pic] |(1.1|
| |9) |

[pic]

Возьмём на плоскости декартову систему координат и каждой паре чисел
[pic]поставим в соответствие точку на этой плоскости.

[pic]

Обратим прежде всего внимание на ограничения [pic]и [pic]. Они из всей плоскости вырезают лишь её первую четверть (см. рис. 1). Рассмотрим теперь, какие области соответствуют неравенствам вида [pic]. Сначала рассмотрим область, соответствующую равенству [pic]. Как Вы, конечно, знаете, это прямая линия. Строить её проще всего по двум точкам.

Пусть [pic]. Если взять [pic], то получится [pic]. Если взять [pic], то получится [pic]. Таким образом, на прямой лежат две точки [pic]и [pic].
Дальше через эти две точки можно по линейке провести прямую линию (смотри рисунок 2).

[pic]

Если же b=0, то на прямой лежит точка (0,0). Чтобы найти другую точку, можно взять любое отличное от нуля значение [pic]и вычислить соответствующее ему значение [pic].

Эта построенная прямая разбивает всю плоскость на две полуплоскости. В одной её части [pic], а в другой наоборот [pic]. Узнать, в какой полуплоскости какой знак имеет место проще всего посмотрев, какому неравенству удовлетворяет какая-то точка плоскости, например, начало координат, т.е. точка (0,0).

1.2 Геометрическая интерпретация задачи линейного программирования.

Рассмотрим задачу ЛП в стандартной форме записи:

max f(X) = с1х1 + с2х2 + ... + спхп (*) при ограничениях а11х1 + а12х2 + … + а1nхn ? b1 а21х1 + а22х2 + … + а2nхn ? b2

…………………………….. аm1х1 + аm2х2 + … + аmnхn ? bm хj ? 0, j = 1, 2, …, n.

Рассмотрим эту задачу на плоскости, т.е. при п = 2. Пусть система неравенств (**), (***) совместна (имеет хотя бы одно решение): а11х1 + а12х2 ? b1 а21х1 + а22х2 ? b2

………….. аm1х1 + аm2х2 ? bm x1 ? 0; х2 ? 0.

Каждое неравенство этой системы геометрически определяет полуплоскость с граничной прямой аi1х1 + аi2х2 ? bi i = 1, m. Условия неотрицательности определяют полуплоскости соответственно с граничными прямыми x1 = 0; х2 =
0.. Система совместна, поэтому полуплоскости, как выпуклые множества, пересекаясь, образуют общую часть, которая является выпуклым множеством и представляет собой совокупность точек, координаты каждой из которых составляют решение данной системы. Совокупность этих точек называют многоугольником решений. Это может быть точка, отрезок, луч, замкнутый многоугольник, неограниченная многоугольная область.