Разработка математической модели и ПО для задач составления расписания

| Категория реферата: Рефераты по информатике, программированию
| Теги реферата: мировая торговля, соціологія шпори
| Добавил(а) на сайт: Филофея.

Итак, выберем критерий качества составления расписания занятий в виде максимизации взвешенного числа свободных от аудиторной работы дней для всех преподавателей, что при условии фиксированной длины рабочей недели эквивалентно максимальному совокупному уплотнению аудиторной нагрузки.

Рассмотрим выражение для величины аудиторной нагрузки в день t преподавателя p:

[pic]

Вводятся ограничения вида:

[pic]

где M – произвольное положительное достаточно большое число; [pic] - искомая булева переменная.

Из (10) вытекает, что если [pic], то [pic] = 1, и если [pic], то [pic]
= 0.

С учетом указанного выше содержательного смысла критерия оптимизации в дополнительных ограничениях (10), а также вводя весовые коэффициенты статуса преподавателя [pic], получаем искомый критерий оптимальности:

[pic]

Введенная целевая функция не является единственно возможной. Введение других целевых функций не меняет ограничений математической модели и методов решения задачи, но может существенно повлиять на результаты вычислений.

2.2. МЕТОДЫ РЕШЕНИЯ ПОСТАВЛЕННОЙ ЗАДАЧИ

Поставленная в предыдущем пункте задача максимизации линейной целевой функции при заданной системе ограничений является задачей линейного целочисленного булева программирования, поскольку все коэффициенты ограничений целочисленны в силу дискретности исходных данных задачи; кроме этого искомые переменные математической модели могут принимать только два значения. На данный момент времени существует несколько возможных методов решения такого рода задач.

В [3] – [8] описаны методы упорядоченной индексации и модифицированных пометок, основанные на лагранжевой декомпозиции исходной модели на ряд однострочных задач, решаемых соответственно методами упорядочивающей индексации или модифицированных пометок. К сожалению количество операций каждого из методов не допускает полиномиальной оценки; кроме того, размерность таблицы наборов (промежуточных значений) методов резко возрастает при увеличении размерности решаемой задачи, что недопустимо в нашем случае. Возможно, изменение алгоритма декомпозиции под конкретную математическую модель позволит уменьшить размерность таблиц, но пока такого алгоритма не существует.

В связи с этим в качестве методов решения были выбраны описанные в [2] модификации симплекс-метода для случая задачи целочисленного линейного программирования. В общем случае количество операций симплекс-метода не допускает полиномиальной оценки (был даже показан класс задач, для которых количество операций составляет O(en)), но для случая нашей задачи среднее число операций допускает полиномиальную оценку: O(n3m1/(n-1)) (n – количество переменных; m – количество ограничений).

2.2.1. ПОЛНОСТЬЮ ЦЕЛОЧИСЛЕННЫЙ АЛГОРИТМ

Этот алгоритм назван полностью целочисленным, потому что если исходная таблица состоит из целочисленных элементов, то все таблицы, получающиеся в процессе работы алгоритма, содержат только целочисленные элементы. Подобно двойственному симплекс-методу, алгоритм начинает работать с двойственно допустимой таблицы. Если ai0 (i = 1 ,…, n+m; ai0 – коэффициенты целевой функции) – неотрицательные целые, то задача решена. Если для какой- нибудь строки ai0