МИНИСТЕРСТВО СВЯЗИ РФ

СИБИРСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ

ТЕЛЕКОММУНИКАЦИЙ И ИНФОРМАТИКИ

ХАБАРОВСКИЙ ФИЛИАЛ

К У Р С О В А Я Р А Б О Т А

ПО ИНФОРМАТИКЕ на тему:

РЕШЕНИЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОГО УРАВНЕНИЯ

С ПОСЛЕДУЮЩЕЙ АППРОКСИМАЦИЕЙ РЕЗУЛЬТАТОВ

Работу выполнила: студентка I курса специальности РРТ (ускор.)

Турчина шифр: 011р-469

2001 г.

С О Д Е Р Ж А Н И Е

Индивидуальное задание -
3
1. Решение дифференциального уравнения методом Эйлера - Коши
- 4
1.1. Теоретические сведения -
4
1.2. Ручной расчёт решаемой задачи -
6
2. Аппроксимация. Метод наименьших квадратов - 9
2.1. Теоретические сведения -
9
2.2. Ручной расчёт коэффициентов системы линейных уравнений -
10
3. Решение системы уравнений методом Гаусса -
11
4. Нахождение значений аппроксимирующей функции - 13
5. Расчёт погрешности аппроксимации -
14
6. Построение блок-схемы и разработка программы аппроксимации - 16

Литература -
21

ИНДИВИДУАЛЬНОЕ ЗАДАНИЕ

1. Решить дифференциальное уравнение y = x + cos ( y / (0.3 ) с начальными условиями x0 = 0.7 y0 = 2.1 на интервале [ 0.7 ; 1.7 ] с шагом h = 0.1.
2. Оценить погрешность вычислений при решении дифференциального уравнения методом Эйлера - Коши.
3. Аппроксимировать полученное в п.1. решение параболой методом наименьших квадратов.
4. Рассчитать погрешность аппроксимации.
5. Построить графики решения дифференциального уравнения, аппроксимирующей функции и погрешности аппроксимации.
6. Составить блок-схемы алгоритмов и программы для решения дифференциального уравнения, вычисления коэффициентов аппроксимирующей параболы, расчёта погрешности аппроксимации на языке QBASIC. На печать выдать :
- значения функции y( xi ), являющейся решением дифференциального уравнения в точках xi, найденные с шагом h и с шагом h/2 ;
- значения аппроксимирующей функции F( xi ) в точках xi ;
- значение погрешности аппроксимации [pic]i = F( xi ) - yi.
- величину средне - квадратичного отклонения.

1. РЕШЕНИЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОГО УРАВНЕНИЯ

МЕТОДОМ ЭЙЛЕРА - КОШИ

1.1. ТЕОРЕТИЧЕСКИЕ СВЕДЕНИЯ

В соответствии с постановкой задачи нужно найти решение дифференциального уравнения первого порядка, т.е. найти такие решения y(x), которые превратили бы дифференциальное уравнение в тождество. Но так как таких решений множество, заданы начальные условия - значения функции y(x) в точке x0, т.е. y(x0) = y0, а так же интервал [ x0 - xn ].
Рис. 1. показывает, что с помощью начальных условий из множества решений можно выбрать одно.

[pic]

Рис 1. Множество решений дифференциального уравнения.

Метод Эйлера - Коши - наиболее точный метод решения дифференциального уравнения (второй порядок точности). Этот метод предполагает следующий порядок вычислений: yi+1( = yi + h f( xi ; yi ), где i = 0,1,2 ... n yi+1 = yi + h (f( xi ; yi ) + f( xi+1 ; yi+1()) / 2
Число значений n можно найти, разделив интервал на шаг:

n = (xn - xo) / h

Геометрически это означает, что определяется направление касательной к интегральной кривой в исходной точке хi,yi и во вспомогательной точке хi+1,yi+1(, а в качестве окончательного направления берется среднее этих направлений (показано пунктирной линией на рис. 2)