Решение дифференциального уравнения с последующей аппроксимацией

| Категория реферата: Рефераты по информатике, программированию
| Теги реферата: курсовик, игра реферат
| Добавил(а) на сайт: Бутылин.

Первое уравнение считается основным, его мы не изменяем. Второе уравнение нужно преобразовать так, чтобы первый его коэффициент стал равен нулю. Для этого второе уравнение нужно умножить на такой множитель, чтобы первые коэффициенты первого и второго уравнения стали равны.
Найдём множитель:
?21 = а21 / а11 = 22.968 / 32.5094 = 0.7065
Умножим на него первое уравнение:
32.5094a * 0.7065 + 22.968b * 0.7065 + 16.94 * 0.7065 = 40.83941 * 0.7065
Получим:
22.968a + 16.2269b + 11.9681c = 28.853043
Теперь нужно это уравнение почленно вычесть из второго:
0a + 0.7131b + 1.2319c = 2.266929
Аналогично преобразуем третье уравнение: i31 = a31 / a11 = 16.94 / 32.5094 = 0.5211
32.5094a * 0.5211 + 22.968b * 0.5211 + 16.94c * 0.5211 = 40.83941 * 0.5211
16.94a + 11.9686b + 8.8274c = 21.281416
Вычтем это уравнение из третьего, получим:
0a +1.2314b + 2.1726c = 4.042284
Таким образом, получится система, эквивалентная исходной:

32.5094a + 22.968b + 16.94c = 40.83941

0.7131b + 1.2319c = 2.266929

1.2314b + 2.1726c = 4.042284
Третье уравнение нужно преобразовать так, чтобы второй его коэффициент стал равен нулю. Найдём множитель:
?32 = a32 / a22 = 1.2314 / 0.7131 = 1.7268
Умножим второе уравнение на него:
0.7131b * 1.7268 + 1.2319c * 1.7268 = 2.266929 * 1.7268
1.2314b + 2.1272c = 3.914533
Вычтем получившееся уравнение из третьего:
0b + 0.0454c = 0.127751
Получим треугольную матрицу, эквивалентную исходной:

32.5094a + 22.968b + 16.94c = 40.83941

0.7131b + 1.2319c = 2.266929

0.0454c = 0.127751
Теперь найдём коэффициенты: c = 0.127751 / 0.0454 = 2.813899 b = (2.266929 - 1.2319 * 2.813899) / 0.7131 = - 1.682111 a = (40.83941 - 16.94 * 2.813899 - 22.968 * (- 1.682111) ) / 32.5094 =
0.978384

Проверим результаты вычислений, подставив полученные значения корней в исходную систему:

32.5094 * 0.978384 + 22.968 * (- 1.682111) + 16.94 * 2.813899 =
40.83941

22.968 * 0.978384 + 16.94 * (- 1.682111) + 13.2 * 2.813899 = 31.119972

16.94 * 0.978384 + 13.2 * (- 1.682111) + 11 * 2.813899 = 25.3237

40.8394 ( 40.83941

31.12 ( 31.119972

25.3228 ( 25.3237

Таким образом, уравнение аппроксимирующей параболы имеет вид:

F (x) = 0.978384x2 - 1.682111x + 2.813899

4. НАХОЖДЕНИЕ ЗНАЧЕНИЙ АППРОКСИМИРУЮЩЕЙ ФУНКЦИИ

Найдём значения функции F(x) = 0.978384 x2 - 1.682111 x + 2.813899 на интервале [0.7; 1.7] с шагом h=0.1 x0 = 0.7
F( x0 ) = 0.978384 * 0.72 - 1.682111 * 0.7 + 2.813899 = 2.118622 x1 = x0 + h = 0.7 + 0.1 = 0.8
F( x1 ) = 0.978384 * 0.82 - 1.682111 * 0.8 + 2.813899 = 2.095734 x2 = 0.8 + 0.1 = 0.9
F( x2 ) = 0.978384 * 0.92 - 1.682111 * 0.9 + 2.813899 = 2.092711 x3 = 0.9 + 0.1 = 1.0
F( x3 ) = 0.978384 * 1.02 - 1.682111 * 1.0 + 2.813899 = 2.109553 x4 = 1.0 + 0.1 = 1.1
F( x4 ) = 0.978384 * 1.12 - 1.682111 * 1.1 + 2.813899 = 2.14626 x5 = 1.1 + 0.1 = 1.2
F( x5 ) = 0.978384 * 1.22 - 1.682111 * 1.2 + 2.813899 = 2.202831 x6 = 1.2 + 0.1 = 1.3
F( x6 ) = 0.978384 * 1.32 -1.682111 * 1.3 + 2.813899 = 2.279266 x7 = 1.3 + 0.1 = 1.4
F( x7 ) = 0.978384 * 1.42 - 1.682111 * 1.4 + 2.813899 = 2.375567 x8 = 1.4 + 0.1 = 1.5
F( x8 ) = 0.978384 * 1.52 - 1.682111 * 1.5 + 2.813899 = 2.491732 x9 = 1.5 + 0.1 = 1.6
F( x9 ) = 0.978384 * 1.62 - 1.682111 * 1.6 + 2.813899 = 2.627762 x10 = 1.6 + 0.1 = 1.7
F( x10 ) = 0.978384 * 1.72 - 1.682111 * 1.7 + 2.813899= 2.783656

5. РАСЧЕТ ПОГРЕШНОСТИ АПРОКСИМАЦИИ.

Для вычисления погрешности аппроксимации вычислим величину среднеквадратичного отклонения:

[pic]
Здесь yi - значения решения дифференциального уравнения, полученные в п.1.2. (см. Таблицу 1), F(xi) - значения аппроксимирующей функции при тех же значениях xi, полученные в п. 4. Их разность показывает величину отклонения аппроксимирующей функции от аппроксимируемой в узлах xi.
Рассчитаем погрешность аппроксимации:
[pic]0 = F( x0 ) - y0 = 2.118622 - 2.1 = 0.018622
[pic]02 = 3.46779 * 10 - 4
[pic]1 = F( x1 ) - y1 = 2.095734 - 2.09763 = - 0.001896
[pic]12 = 3.59482 *10 - 6
[pic]2 = F( x2 ) - y2 = 2.092711 - 2.105547 = - 0.012836
[pic]22 = 1.64763 * 10 - 4
[pic]3 = F( x3 ) - y3 = 2.109553 - 2.125049 = - 0.015496
[pic]32 = 2.40126 * 10 - 4
[pic]4 = F( x4 ) - y4 = 2.14626 - 2.157721 = - 0.011461
[pic]42 = 1.31355 * 10 - 4
[pic]5 = F( x5 ) - y5 = 2.202831 - 2.205613 = - 0.002782
[pic]52 = 7.73953 * 10 - 6
[pic]6 = F( x6 ) - y6 = 2.279266 - 2.271475 = 0.007791
[pic]62 = 6.06997 * 10 - 5
[pic]7 = F( x7 ) - y7 = 2.375567 - 2.359045 = 0.06522
[pic]72 = 2.72977 * 10 - 4
[pic]8 = F( x8 ) - y8 = 2.491732 - 2.473328 = 0.08404
[pic]82 = 3.38707 * 10 - 4
[pic]9 = F( x9 ) - y9 = 2.627762 - 2.620626 = 0.007136
[pic]92 = 5.09225 * 10 - 5
[pic]10 = F( x10 ) - y10 = 2.783656 - 2.807662 = - 0.024006
[pic]102 = 5.76288 * 10 -4

( = ( 0.0021939515 = ( 1.9945013 * 10 - 4 = 0.014122681 [pic]1.412268 *
10 - 2

Данные расчётов снесены в Таблицу 2.

Таблица 2. Расчёт погрешности аппроксимации.
|I |xi |yi |F(xi) |[pic]i |[pic]i2 |
|0 |0.7 |2.1 |2.118622 |0.018622 |3.46779 * 10 - 4|
|1 |0.8 |2.09763 |2.095734 |- 0.001896 |3.59482 * 10 - 6|
|2 |0.9 |2.105547 |2.092711 |- 0.012836 |1.64763 * 10 - 4|
|3 |1.0 |2.125049 |2.109553 |- 0.015496 |2.40126 * 10 - 4|
|4 |1.1 |2.157721 |2.14626 |- 0.011461 |1.31355 * 10 - 4|
|5 |1.2 |2.205613 |2.202831 |- 0.002782 |7.73953 * 10 - 6|
|6 |1.3 |2.271475 |2.279266 |0.007791 |6.06997 * 10 - 5|
|7 |1.4 |2.359045 |2.375567 |0.06522 |2.72977 * 10 - 4|
|8 |1.5 |2.473328 |2.491732 |0.08404 |3.38707 * 10 - 4|
|9 |1.6 |2.620626 |2.627762 |0.007136 |5.09225 * 10 - 5|
|10 |1.7 |2.807662 |2.783656 |- 0.024006 |5.76288 * 10 - 4|

График погрешности аппроксимации представлен на рисунке 4.
[pic]
График аппроксимирующей функции представлен на рисунке 5.