Предыдущая страница реферата | 1  2  3  4  5  6  7 | Следующая страница реферата



Теорема 5. Пусть дана бесконечная антагонистическая игра с непрерывной и дифференцируемой по y на единичном квадрате при любом х функцией выигрышей М(х, y), с оптимальной чистой стратегией yo игрока 2 и ценой игры V, тогда :

1) если yo = 1, то среди оптимальных стратегий игрока 1 имеется существенная чистая стратегия х1, для которой

(х1, 1) £ 1;

2) если yo = 0, то среди оптимальных стратегий игрока 1 имеется существенная чистая стратегия х2, для которой

(х2, 0) ³ 0;

3) если 0 £ yo £ 1, то среди оптимальных стратегий игрока 1 найдётся такая, которая является смесью двух существенных стратегий х1 и х2. Для этих стратегий

(х1, yo) £ 0, (х2, yo) ³ 0,

стратегия х1 употребляется с вероятностью a, стратегия х2 – с вероятностью (1 - a), где a находится из уравнения

a(х1, yo) + (1 - a)(х2, yo) = 0.         

Пример. Пусть функция выигрышей в бесконечной антагонистической игре задана на единичном квадрате и равна

М(х, y) = (х - y)2 = х2 - 2хy + y2.

Эта функция непрерывна по х и y, и поэтому эта игра имеет решение. Кроме того

 = 2 > 0.

Следовательно, М(х, y) выпукла по y, и поэтому согласно теореме 4 цена игры определяется по формуле (1), игрок 2 имеет чистую оптимальную стратегию yo, определяемую из уравнения (2). Таким образом, имеем

V = (x - y)2;

Для определения (x2 - 2xy + y2) последовательно найдём

 = 2x - 2y := 0 Þ x = y

 = 2 > 0   Þ при x = y функция M имеет минимум для любого y.

 Þ максимум достигается в одной из крайних точек x = 0 и (или) x = 1

M(0; y) = y2

M(1; y) = 1 - 2y + y2 = (y - 1)2

V= max {y2; (1 - y)2}

Данный  max {...} достигается в том случае, если y2 = (1 - y)2, т.е. y = .

Следовательно V =  при yo = .

Определим теперь оптимальные стратегии для игрока 1. Поскольку yo = , то 0 < yo < 1. Согласно теореме 5 рассмотрим третий случай.

Рекомендуем скачать другие рефераты по теме: сочинение рассуждение, шпаргалки по математике.

Предыдущая страница реферата | 1  2  3  4  5  6  7 | Следующая страница реферата