Предыдущая страница реферата | 1  2  3  4  5  6  7  8  9  10  11 | Следующая страница реферата



Пример 1,1/2,3,1/4,5,1/6,7… явл. неогранич., т.е. принимает сколь угодно большие по модулю значения, однако в ней имеются эл-ты со сколь угодно большими номерами принимающие дробные знач. и сколь угодно малые по модулю.

Св-ва сходящихся посл-тей Теорема “Об единственности пределов”

Если посл-ть xn сходится, то она имеет единственный предел.

Док-во (от противного)

{xn} имеет два разл. Предела a и b, а¹ b. Тогда согласно определению пределов любая из окрестностей т. а содержит все эл-ты посл-ти xn за исключением конечного числа и аналогичным св-вом обладает любая окрестность в точке b. Возьмем два радиуса e = (b-a)/2, т.к. эти окрестности не пересекаются, то одновременно они не могут содержать все эл-ты начиная с некоторого номера. Получим противоречие теор. док-на.

Теорема “Сходящаяся посл-ть ограничена”

Пусть посл-ть {xn}® а e >о N:" n>N½ xn-a½ <e эквивалентна а-e <xn<a+e " n>N => что каждый из членов посл-ти удовлетворяет неравенству½ xn½ £ c = max {½ a-e ½ ,½ a+e ½ ,½ xn½ ,…,½ xn-1½ }

Теорема “Об арифметических дейсьвиях”

Пусть посл-ть {xn}® a,{yn}® b тогда арифметические операции с этими посл-тями приводят к посл-тям также имеющие пределы, причем:

а) предел lim(n® ¥ )(xn± yn)=a± b

б) предел lim(n® ¥ )(xn* yn)=a* b

в) предел lim(n® ¥ )(xn/yn)=a/b, b¹ 0

Док-во:

а)xn± yn=(а+a n)± (b+b n)=(a± b)+(a n± b n) Правая часть полученная в разности представляет сумму числа a+b б/м посл-тью, поэтому стоящая в левой части xn+yn имеет предел равный a± b. Аналогично др. св-ва.

б) xn* yn=(а+a n)* (b+b n)=ab+a nb+ab n+a nb n

a n* b – это произведение const на б/м

а* b n® 0, a nb n® 0, как произведение б/м.

=> поэтому в правой части стоит сумма числа а* b+ б/м посл-ть. По т-ме О связи сходящихся посл-тей в б/м посл-ти в правой части xn* yn сводится к a* b

Практический вывод состоит в том, что нахожд. пределов посл-тей заданных сл. выражениями можно сводить к более простым задачам вычисления lim от составляющих этого выр-ния

Посл-ть {xn} наз-ся возр., если x1<…<xn<xn+1<…;

неубывающей, если x1£ x2£ …£ xn£ xn+1£ …; убывающей, если x1>x2>…>xn>xn+1>…; невозр., если x1³ x2³ …³ xn³ xn+1³ …

Все такие посл-ти наз-ся монотонными. Возр. и убыв. наз-ся строго монотонными

Монотонные посл-ти ограничены с одной стороны, по крайней мере. Неубывающие ограничены снизу, например 1 членом, а не возрастыющие ограничены сверху.

Теорема “О сходимости монотон. посл-ти”

Всякая монотонная посл-ть явл-ся сходящейся, т.е. имеет пределы.

Док-во Пусть посл-ть {xn} монотонно возр. и ограничена сверху. X – все мн-во чисел которое принимает эл-т этой посл-ти согласно усл. Теоремы это мн-во огранич., поэтому по соотв. Теореме оно имеет конечную точную верх. грань supX xn® supX (обозначим supX через х*). Т.к. х* точная верх. грань, то xn£ x* " n. " e >0 вып-ся нер-во $ xm(пусть m- это n с крышкой):xm>x*-e при " n>m => из указанных 2-х неравенств получаем второе неравенство x*-e £ xn£ x*+e при n>m эквивалентно ½ xn-x*½ <e при n>m. Это означает, что x* явл. пределом посл-ти.

Экспонента или число е. Ф-ции одной переменной. Обратные ф-ции. 6. Экспонента или число е

Р-рим числ. посл-ть с общим членом xn=(1+1/n)^n (в степени n)(1) . Оказывается, что посл-ть (1) монотонно возр-ет, ограничена сверху и сл-но явл-ся сходящейся, предел этой пос-ти наз-ся экспонентой и обозначается символом е» 2,7128…

Док-ть сходимость посл-ти (1)

Для док-ва введем вспом-ю ф-цию y=(1+x)^1/x, x>0 Ясно что при знач. x=1,1/2,1/3,…,1/n,… значение ф-ции y совпадает с соответствующими эл-ми (1).

Рекомендуем скачать другие рефераты по теме: процесс реферат, содержание реферата курсовые работы.

Предыдущая страница реферата | 1  2  3  4  5  6  7  8  9  10  11 | Следующая страница реферата