Прежде чем приступить к рассмотрению центральной предельной теоремы, я считаю нужным сказать о слабой сходимости.

Пусть задана последовательность случайных величин (далее с. в.) [pic], задано некоторое распределение [pic]с функцией распределения [pic]и
[pic] — произвольная с. в., имеющая распределение [pic].

Определение.

Говорят, что последовательность с. в. [pic]при [pic]сходится слабо или по распределению к с. в. [pic] и пишут: [pic], или [pic], или [pic],

если для любого [pic]такого, что функция распределения [pic]непрерывна в точке [pic], имеет место сходимость [pic] при [pic].

Иначе говоря, слабая сходимость — это поточечная сходимость функций распределения во всех точках непрерывности предельной функции распределения.

Свойство 1.

Если [pic], и функция распределения [pic]непрерывна в точках [pic]и [pic], то

[pic] и т.д. (продолжить ряд).

Наоборот, если во всех точках [pic]и [pic]непрерывности функции распределения [pic]имеет место, например, сходимость [pic], то [pic].

Следующее важное свойство уточняет отношения между сходимостями.

Свойство 2.

1. Если [pic], то [pic].

2. Если [pic], то [pic].

Свойство 3.

1. Если [pic]и [pic], то [pic].

2. Если [pic]и [pic], то [pic].

Несколько содержательных примеров слабой сходимости я рассмотрю ниже. Но основной источник слабо сходящихся последовательностей и необычайно мощное и универсальное средство для асимптотического анализа распределений сумм независимых и одинаково распределенных случайных величин предоставляет нам центральная предельная теорема.

Я буду называть следующее утверждение «ЦПТ Ляпунова» (А. М. Ляпунов: 1901), но сформулирую и докажу теорему Ляпунова только в частном случае, т.е. для последовательности независимых и одинаково распределенных случайных величин.

Центральная предельная теорема.

Пусть [pic] — независимые и одинаково распределенные случайные величины с конечной и ненулевой дисперсией: [pic]. Обозначим через [pic]сумму первых
[pic]случайных величин: [pic].

Тогда последовательность случайных величин [pic] слабо сходится к стандартному нормальному распределению.

Доказательство.

Пусть [pic] — последовательность независимых и одинаково распределенных случайных величин с конечной и ненулевой дисперсией. Обозначим через
[pic]математическое ожидание [pic]и через [pic] — дисперсию [pic].
Требуется доказать, что

[pic]