Центральная предельная теорема и ее доказательство через ряды Тейлора

| Категория реферата: Рефераты по математике
| Теги реферата: виды докладов, решебник 10 класс
| Добавил(а) на сайт: Tatarincev.

Введем стандартизированные случайные величины [pic] — независимые с.в. с нулевыми математическими ожиданиями и единичными дисперсиями. Пусть
[pic]есть их сумма [pic]. Требуется доказать, что

[pic]

Характеристическая функция величины [pic]равна

[pic]

Характеристическую функцию с.в. [pic]можно разложить в ряд Тейлора, в коэффициентах которого использовать известные моменты [pic], [pic]. Получим

[pic]

Подставим это разложение, взятое в точке [pic], в равенство и устремим
[pic]к бесконечности. Еще раз воспользуемся замечательным пределом:

[pic]

В пределе получили характеристическую функцию стандартного нормального закона. По теореме о непрерывном соответствии можно сделать вывод о слабой сходимости :

[pic]

распределений стандартизованных сумм к стандартному нормальному распределению, что и утверждается в ЦПТ.

Пользуясь определением и свойствами слабой сходимости, и заметив, что функция распределения [pic]любого нормального закона непрерывна всюду на
[pic], утверждение ЦПТ можно сформулировать любым из следующих способов:
Следствие.

Пусть [pic] — независимые и одинаково распределенные случайные величины с конечной и ненулевой дисперсией. Следующие утверждения эквивалентны друг другу и равносильны утверждению ЦПТ.

. Для любых вещественных [pic]при [pic]имеет место сходимость

[pic]

. Для любых вещественных [pic]при [pic]имеет место сходимость

[pic]

. Для любых вещественных [pic]при [pic]имеет место сходимость

[pic]

. Если [pic] — произвольная с. в. со стандартным нормальным распределением, то

[pic]

Следствием из ЦПТ является предельная теорема Муавра-Лапласа.

Предельная теорема Муавра — Лапласа.

Пусть [pic] — событие, которое может произойти в любом из [pic]независимых испытаний с одной и той же вероятностью [pic]. Пусть [pic] — число осуществлений события [pic]в [pic]испытаниях. Тогда [pic].

Иначе говоря, для любых вещественных [pic]при [pic]имеет место сходимость