Численные методы

| Категория реферата: Рефераты по математике
| Теги реферата: доклад по обж, сочинение отец
| Добавил(а) на сайт: Bebnev.

Побудова системи (8) складає прямий хід методу Гаусса. Зворотнiй хід полягає у відшуканні невідомих х1, ... ,хm з системи (8). Тому що матриця системи має трикутний вигляд, можна послідовно, починаючи з хm, відшукати всі невідомі. Дійсно, xm=ym, x m-1 =ym-1 -cm-1,m x m i т. д.
Загальні форми зворотнього ходу мають вигляд: m

xi =yi - ( cijxj ; i=m-1,1; xm =ym .

(10)

j=i+1

При реалізації на ЕОМ прямого ходу методу Гаусса немає необхідності діяти із змінними x1 ,x2 ,... ,xm. Досить вказати алгоритм,за яким початкова матриця А перетворюється до трикутного вигляду (9), та вказати відповідне перетворення правих частин системи.

Одержимо ці загальні формули.

Нехай вже здійснені перші к-1 кроків, тобто вже вилучені змінні x1 , x2,..., xk-1 .

Тоді маємо систему: x1+c12 x2 +...+c1,k-1xk-1+ c1kxk+....+c1mxm =y1 , x2 +...+c2,k-1xk-1+ c2kxk+....+c2mxm =y2 ,

.............................................. xk-1+ck-1,kxk+...+ck-1,mxm=yk-1

, (11)

(k-1) (k-1) (k-1) akkxk+...+akmxm =fk ,

............................

(k-1) (k-1) (k-1) amkxk+...+ammxm =fm .

Розглянемо К-те рівняння цієї системи:

(k-1) (k-1) (k-1)

akkxk+...+akmxm=fk ,

та припустимо, що [pic] . Поділивши обидві частини цього рівняння на
[pic] , одержимо

xk+ck,k+1xk+1+...+ckmxm=yk ,

(12)

(k-1) (k-1)
(k-1) (k-1) де ckj=akj / akk ; j=k+1,m ; yk=fk / akk .

Далі помножимо рівняння (12) на [pic] та віднімемо одержане співвідношення з i-го рівняння системи (11). У результаті остання група рівнянь системи (11) набуває наступного вигляду:

x k+ck,k+1xk+1 +...+ ckmxm=yk,

(k) (k)

(k) ak+1,k+1xk+1+...+ ak+1,mxm=fk+1,

.......................................