Численные методы

| Категория реферата: Рефераты по математике
| Теги реферата: доклад по обж, сочинение отец
| Добавил(а) на сайт: Bebnev.

(k)
(k) (k) am,k+1xk+1+... + ammxm=fm ,

(k) (k-1) (k-1) (k)
(k-1) (k-1) де: aij =aij - aikckj ; i,j=k+1,m ; fi= fi - aikyk ; i=k+1,m
.

Таким чином, у прямому ході методу Гаусса коефіцієнти рівнянь перетворюються за наступним правилом

(0) akj =akj ; k,j=1,m ;

(k-1) (k-1) ckj=akj /akk ; j=k+1,m ; k=1,m ;
(13)

(k) (k-1) (k-1) aij =aij - aikckj ; i,j=k+1,m ; k=1,m .

(14)

Обчислення правих частин системи (8) здійснюється за формулами:

(0) (k-1) (k-1) fk=fk ; yk = fk / akk ; k=1,m ;

(15)

(k) (k-1) (k-1)

fi = fi - aikyk ; k=1,m .

(16)

Коефіціенти cij і праві частини yi ; i=1,m ; j=i+1,m зберігаються у пам’яті ЕОМ і використовуються при здійсненні зворотнього ходу за формулами (10).

Основним обмеженням методу є припущення, що усі елементи [pic] , на які здійснюється ділення, відрізняються від нуля. Число [pic]називається провідним елементом на К-му кроці вилучення. Навіть, якщо деякий провідний елемент не дорівнює нулеві, а просто є близьким до нуля, в процесі обчислень може мати місце нагромадження похибок. Вихід з цієї ситуації полягає в тому, шо як провідний елемент вибирається не [pic] , а інше число ( тобто на К-му кроці вилучається не xk, а інша змінна xj , [pic])
. Така стратегія вибору провідних елементів здійснюється в методі Гаусса з вибором головного елементу, який буде розглянуто пізніш.

А тепер підрахуємо число арифметичних дій, що необхідні для розв’язання системи за допомогою методу Гаусса. Оскільки виконання операцій множення і ділення на ЕОМ потребує набагато більше часу, ніж виконання додавання і віднімання, обмежимось підрахуванням числа множень і ділень.

1.Обчислення коефіцієнтів [pic] за формулами (13) потребує:

[pic](m-k)=1+2+...+(m-1)= [pic] ділень .

2.Обчислення усіх коефіцієнтів [pic] за формулами (14) потребує

[pic] множень (тут ми використовуємо легко перевіряєму за індукцією рівність
[pic] ).

Таким чином, обчислення ненульових елементів [pic] трикутної матриці С потребує

[pic] операцій множення і ділення.

3.Обчислення правих частин yk за формулами (15) потребує m ділень, а відшукання [pic] за формулами (16)

[pic] множень. Разом, обчислення правих частин перетвореної системи (8) потребує

[pic] дій множення і ділення.