Предыдущая страница реферата | 1  2  3  4  5  6  7 | Следующая страница реферата

Условные Экстремумы

При отыскании экстремумов функции многих переменных часто возникают задачи, связанные с так называемым условным экстремумом. Это понятие можно разъяснить на примере функции двух переменных.

Пусть заданы функция и линия L на плоскости 0xy. Задача состоит в том, чтобы на линии L найти такую точку P(x, y), в которой значение функции является наибольшим или наименьшим по сравнению со значениями этой функции в точках линии L, находящихся вблизи точки P. Такие точки P называются точками условного экстремума функции на линии L. В отличие от обычной точки экстремума значение функции в точке условного экстремума сравнивается со значениями функции не во всех точках некоторой ее окрестности, а только в тех, которые лежат на линии L.

Совершенно ясно, что точка обычного экстремума (говорят также безусловного экстремума) является и точкой условного экстремума для любой линии, проходящей через эту точку. Обратное же, разумеется, неверно: точка условного экстремума может и не быть точкой обычного экстремума. Поясню сказанное обычным примером. Графиком функции

является верхняя полусфера (Рис 3).

 

 

 

 

 

Эта функция имеет максимум в начале координат; ему соответствует вершина M полусферы. Если линия L есть прямая, проходящая через точки А и В (ее уравнение x+y-1=0), то геометрически ясно, что для точек этой линии наибольшее значение функции достигается в точке , лежащей посередине между точками А и В. Это и есть точка условного экстремума (максимума) функции на данной линии; ей соответствует точка M1 на полусфере, и из рисунка видно, что ни о каком обычном экстремуме здесь не может быть речи.

Отметим, что в заключительной части задачи об отыскании наибольшего и наименьшего значений функции в замкнутой области нам приходится находить экстремальные значения функции на границе этой области, т.е. на какой-то линии, и тем самым решать задачу на условный экстремум.

Приступим теперь к практическому отысканию точек условного экстремума функции Z= f(x, y) при условии, что переменные x и y связаны уравнением j (x, y) = 0. Это соотношение будем называть уравнение связи. Если из уравнения связи y можно выразить явно через х: y=j (x), мы получим функцию одной переменной Z= f(x, j (x)) = Ф(х).

Найдя значение х, при которых эта функция достигает экстремума, и определив затем из уравнения связи соответствующие им значения у, мы и получим искомые точки условного экстремума.

Так, в вышеприведенном примере из уравнения связи x+y-1=0 имеем y=1-х. Отсюда

Легко проверить, что z достигает максимума при х = 0,5; но тогда из уравнения связи y=0,5, и мы получаем как раз точку P, найденную из геометрических соображений.

Очень просто решается задача на условный экстремум и тогда, когда уравнение связи можно представить параметрическими уравнениями х=х(t), y=y(t). Подставляя выражения для х и у в данную функцию, снова приходим к задаче отыскания экстремума функции одной переменной.

Если уравнение связи имеет более сложный вид и нам не удается ни явно выразить одну переменную через другую, ни заменить его параметрическими уравнениями, то задача отыскания условного экстремума становится более трудной. Будем по-прежнему считать, что в выражении функции z= f(x, y) переменная j (x, y) = 0. Полная производная от функции z= f(x, y) равна:

Где производная y`, найдена по правилу дифференцирования неявной функции. В точках условного экстремума найденная полная производная должна ровняться нулю; это дает одно уравнение, связывающее х и у. Так как они должны удовлетворять еще и уравнению связи, то мы получаем систему двух уравнений с двумя неизвестными

Преобразуем эту систему к гораздо более удобной, записав первое уравнение в виде пропорции и введя новую вспомогательную неизвестную l :

(знак минус перед l поставлен для удобства). От этих равенств легко перейти к следующей системе:

f`x=(x,y)+l j `x(x,y)=0, f`y(x,y)+l j `y(x,y)=0 (*),

которая вместе с уравнением связи j (x, y) = 0 образует систему трех уравнений с неизвестными х, у и l .

Рекомендуем скачать другие рефераты по теме: реферат история развития, реферат на тему життя.





Предыдущая страница реферата | 1  2  3  4  5  6  7 | Следующая страница реферата