Формула полной вероятности.

Пусть имеется группа событий H1, H2,..., Hn, обладающая следующими свойствами:

1) все события попарно несовместны: Hi  Hj =Æ;  i, j=1,2,...,n; i¹j;

2) их объединение образует пространство элементарных исходов W:

W=.

Рис.8

 В этом случае будем говорить, что H1,H2,...,Hn  образуют полную группу событий. Такие события  иногда называют гипотезами.

Пусть А – некоторое событие: А Ì W (диаграмма Венна представлена на рисунке 8). Тогда имеет место формула полной вероятности:

P(A) = P(A/ H1)P(H1) + P(A/ H2)P(H2) + ...+ P(A/ Hn)P(Hn) =

Доказательство. Очевидно: A = , причем все события  (i = 1,2,...,n) попарно несовместны. Отсюда по теореме сложения вероятностей получаем

   P(A) = P() + P() +...+ P(

Если учесть, что по теореме умножения P()= P(A/Hi)P(Hi) (i=1,2,...,n),  то из последней формулы легко получить приведенную выше  формулу полной вероятности.

Пример. В магазине продаются электролампы производства трех заводов, причем доля первого завода - 30%, второго - 50%, третьего - 20%. Брак в их продукции составляет соответственно 5%, 3% и 2%. Какова вероятность того, что случайно выбранная в магазине лампа оказалась бракованной.

Пусть событие H1 состоит в том, что выбранная лампа произведена на первом заводе, H2 на втором, H3 - на третьем заводе. Очевидно:

   P(H1) = 3/10,  P(H2) = 5/10,  P(H3) = 2/10.

Пусть событие А состоит в том, что выбранная лампа оказалась бракованной; A/Hi означает событие, состоящее в том, что выбрана бракованная лампа из ламп, произведенных на i-ом заводе. Из условия задачи следует:

   P (A/H1) = 5/10; P(A/H2) = 3/10; P(A/H3) = 2/10

По формуле полной вероятности получаем

  

Формула Байеса

Пусть H1,H2,...,Hn -  полная группа событий и АÌW – некоторое событие. Тогда по формуле для условной вероятности

           (*)

Здесь P(Hk /A) – условная вероятность события (гипотезы) Hk или вероятность того, что Hk реализуется при условии, что событие А произошло.

По теореме умножения вероятностей числитель формулы (*) можно представить в виде

   P = P= P(A /Hk) P(Hk)

Рекомендуем скачать другие рефераты по теме: гигиена реферат, информация реферат.





1  2  3 | Следующая страница реферата