Греческая математика эллинистического периода

Ткаченко А.Е., студент, Казакова Е.И., д.т.н., проф.

Донецкий национальный технический университет

Прежде всего необходимо четко себе представлять в каких исторических условиях развивалась греческая математика того периода. У известного исследователя истории математики Ван-дер-Вардена мы можем найти ответ на этот вопрос. С его точки зрения после Аполлония Пергского греческая геометрия сразу кончается. Есть, правда, некоторые проблески в виде работ Диокла и Зенодора, которые время от времени решали некоторые задачи, оставшиеся им от Архимеда и Аполлония словно крохи от пира великих . Выходили сборники вроде сочинения Паппа Александрийского. Математика в основном применялась для решения астрономических и практических задач, разрабатывалась плоская и сферическая тригонометрии . Но появление тригонометрии так и осталось единственным значительным достижением того времени . Геометрия конических сечений дожила до Декарта в том виде, который придал ей Апполоний.

Причем произведения самого Аполлония читались очень мало и даже частично были утрачены . «Метод» Архимеда так же долгое время оставался без внимания как и проблема интегрирования , пока за нее не взялись снова в XVII веке прежде всего в Италии (метод неделимых Кавальери – Галилея) . Несмотря на то, что семена проективной геометрии уже были посеяны, довести ее до плодов смогли только Дезарг и Паскаль. Исследование высших плоских кривых производили спорадически. Системное исследование было невозможно вследствие нехватки алгебраических средств. Традиционно передавались из поколения в поколение вплоть до нашего времени без каких-либо изменений геометрическая алгебра и теория пропорций, хотя смысл их уже был в, сущности, непонятен. Арабы создали свою алгебру заново, начиная ее с гораздо более примитивной формы . Теория иррациональностей пояснялась комментариями, но толком ее уже не понимали. Так Ван-дер –Варден подводит нас к выводу, что греческая геометрия зашла в тупик.

Конечно, политические и экономические отношения в стране играют далеко не последнюю роль. Наука того времени стала принадлежностью придворных, попала в зависимость от библиотек и царских субсидий. Войны, тяжелые налоги, а позднее и римское владычество, выжимавшее из населения все соки – все это положило конец благосостоянию эллинистических стран. К тому же, когда Цезарь попал в Александрии в осаду, большая часть знаменитой библиотеки сгорела . Римские же императоры достаточно прохладно относились к чистой науке . А богатые римляне если и пускали к себе греческих деятелей культуры, то в основном скульпторов, педагогов и историков, но математиков к себе не приглашали.

Но хотя приведенные выше факты и играют не последнюю роль, но объясняют далеко не все. Собственно говоря они лишь помогают понять, почему наука время от времени останавливалась, но не дают объяснения тому, что она в сущности пошла назад и пришла в полный упадок . Кроме того, если сравнивать развитие астрономии и математики, то тут мы видим существенную разницу. В астрономии были короткие и длинные периоды остановки, но после их окончания работа каждый раз возобновлялась с того места с которого остановилась . Гиппарх (150 до н. э .) продолжал работу Аполлония и привлек вавилонские наблюдения . Около 150 н. э . Птолемей непосредственно примкнул к работам Гиппарха и развил теоретическую астрономию до поистине удивительной высоты. В течении последующих 300 лет, между Гиппархом и Птолемеем по-настоящему работа не прерывалась, и самим же Птолемеем упоминается о других авторах, которые пытались воспроизводить движения планет при помощи эксцентров и эпициклов. Так, индийская Сурья-Сиддханта в значительной степени опирается на греческую астрономию. Великие арабские астрономы, как аль-Баттани, вносили улучшения в систему Птолемея. И даже Коперник исходил из Птоломеевой системы, как и Кеплер, отец современной астрономии. Все эти великие астрономы создавали свои труды опираясь на достижения своих предшественников, и оставляли свои открытия в веках .

В математике же дела шли совсем иначе. Так, например, незаслуженно выпустили из изучения труды Архимеда и Аполлония. Правда, продолжали еще изучать Евклида, но многие труды великих математиков были к тому времени уже утеряны, а другие считались необычайно трудными и большей частью не читались. Аль-Хваризми, отец арабской алгебры, сознательно решил не принимать во внимание «греческую ученость». Его целью было написать книгу доступную широким кругам, понятную простым людям, которым необходимо было решать задачи о делении наследства и которые нуждались в коротких и легких правилах для составления и решения алгебраических уравнений. И это на его работе, а не на работах великих греческих математиков, основывалась арабская алгебра, а после нее и алгебра возрождения.

Мы видим, что астрономия продолжает свое развитие, пусть и с некоторыми перерывами, но математика долгое время находится в упадке, а затем продолжает свое развитие, но уже на другой основе. Лишь политическими и экономическими факторами мы не сможем удовлетворительно объяснить этот упадок математики, поскольку те же факторы должны были бы оказывать аналогичное влияние и на развитие астрономии. Из этого можно сделать вывод, что какие-то внутренние причины должны были привести к упадку античной математики.

Эти внутренние причины очень хорошо вскрыл Цейтен в своем «Lehre von den Kegelschnitten im Altertum».

Как нам известно, алгебраический элемент всегда занимал важное место в геометрии греков. Теэтет и Аполлоний были в сущности своей алгебраистами: мыслили они алгебраически, но свои суждения облекали в геометрическую форму. Греческая алгебра была геометрической алгеброй. Она оперировала отрезками прямой и прямоугольниками, а не числами. И пока крепко держались требований строгой логики, это было неизбежно. Ведь «числами» были только целые или, в крайнем случае, дробные, но во всяком случае рациональные числа, а отношение двух несоизмеримых отрезков нельзя изобразить рациональными числами. Следовательно, по понятиям древних греков, его вообще нельзя было представить числом. К чести греческой математики нужно сказать, что она была неуклонно последовательна в своей логике.

Но то же самое обстоятельство и определило границы применения эллинской алгебры.

Так, уравнения первой и второй степени можно было передать на языке геометрической алгебры; в крайнем случае данный метод можно было применять и для записи уравнений третьей степени. Но пойти дальше можно было только посредством громоздких и утомительных вспомогательных средств пропорций.

Гиппократ, например, приводил кубическое уравнение:

x3=V

к пропорции

a:x = x:y = y:b

а Архимед писал уравнение третьей степени:

x2(a-x)=bc2

в виде пропорции:

(a-x):b=c2:x2

Таким сложным путем еще можно было добраться до уравнений четвертой степени, пример чего можно найти у Аполлония . Однако дальше пойти нельзя. Более того, чтобы получать результаты этим в высшей степени сложным методом нужно было бы быть еще и математическим гением и быть весьма искушенным по части преобразования пропорций при помощи геометрических фигур. Нашими алгебраическими обозначениями может пользоваться каждый техник или естествоиспытатель, а греческой теорией пропорций и геометрической алгеброй - только очень одаренный математик.

Кроме того, имеет место и другое обстоятельство – это трудность письменной передачи.

Для того чтобы читать доказательства у Аполлония, необходимо долго и напряженно размышлять. Вместо удобной алгебраической формулы стоит длинная фраза, где каждый отрезок обозначается двумя буквами, которые каждый раз нужно отыскивать на чертеже. Чтобы понять ход мыслей, приходится заменять эти фразы современными сжатыми формулами. Этого вспомогательного средства древние не имели: вместо этого у них было другое - устная передача.

При устном объяснении отрезки можно было указывать пальцем, делать ударения и паузы в особо важных местах и, кроме того, можно было рассказать, каким именно образом получилось данной доказательство. Все это отпадает в письменной формулировке строго классического стиля: доказательства закончены, логически обоснованы, но они ничего не подсказывают. Не можешь ничего возразить, чувствуешь, что попался в логическую ловушку, но не видишь, какая основная линия рассуждений за этим скрывается.