Интеграл Лебега

| Категория реферата: Рефераты по математике
| Теги реферата: сообщение, скачать реферат бесплатно на тему
| Добавил(а) на сайт: Golubcov.

В самом деле, множество точек деления {[pic]} счетно и, стало быть, имеет меру нуль. Поэтому лемма означает, что (i(x) ( m(x) почти везде.

Но (i(x) измерима, ибо это ступенчатая функция, значит измерима я функция т(x). Для верхней функции Бэра М(х) рассуждение аналогично.

Следствие 2. Если в условиях леммы исходная функция f(x) ограничена, то
(L) [pic]( (L) [pic].

Действительно, если[pic] ( K, то, очевидно,
[pic] ( K, [pic] ( K, откуда прежде всего следует, что эти функции интегрируемы (L), после чего остается сослаться на теорему Лебега о предельном переходе под знаком интеграла.

Перефразируем теперь следствие 2. Для этого заметим, что
(L) [pic] = [pic] = [pic] = si, где si есть нижняя сумма Дарбу, отвечающая i-му способу дробления. Таким образом, следствие 2 означает, что при i ( ( si ( (L) [pic].

Аналогично можно установить, что верхняя сумма Дарбу Si при возрастании i стремится к интегралу от верхней функции Бэра
Si ( (L) [pic].

Но в таком случае
Si - si ( (L) [pic].

С другой стороны, в курсе Анализа устанавливается, что для того, чтобы ограниченная функция f(x) была интегрируема (R), необходимо и достаточно, чтобы было Si – si ( 0.

Сопоставляя это со сказанным выше, мы видим, что для интегрируемости (R) функции f(x) необходимо и достаточно, чтобы было
(L) [pic] = 0.

(1)

Условие (1) во всяком случае выполнено, если разность М(х) - т(х) эквивалентна нулю, но так как эта разность неотрицательна, то и обратно из
(1) следует, что т(х) ~ М(х).

(2)

Итак, интегрируемость (R) ограниченной функции f(x) равносильна соотношению (2).

Сопоставив этот результат с теоремой 1, получаем следующую теорему.

Теорема 2 (А. Лебег). Для того чтобы ограниченная функция f(x) была интегрируема (R),необходимо и достаточно, чтобы она была непрерывна почти везде.

Эта замечательная теорема представляет собой наиболее простой и ясный признак интегрируемости (R). В частности, она оправдывает сделанное в пункте 2 замечание, что интегрируемыми (R) могут быть только «не очень разрывные» функции.

Допустим теперь, что функция f(x) интегрируема (R). Тогда она необходимо ограничена и почти везде будет т(х) = М(х).
Но ведь т(х) ( f(x) ( М(х).

Значит, почти везде f(x) = m(x), и f(x), будучи эквивалентна измеримой функции т(х), измерима сама. Так как всякая ограниченная измеримая функция интегрируема (L), то такова же и f(x), т. е. из интегрируемости какой-нибудь функции в смысле Римана вытекает ее интегрируемость в смысле Лебега.

Наконец, из эквивалентности функций f(x) и т(х) следует, что
(L) [pic] = (L) [pic].

Но, как известно из курса Анализа, в условиях основной леммы для интегрируемой (R) функции f(x) будет si ( (R)[pic], где si есть нижняя сумма Дарбу, отвечающая i-му способу дробления.
Сопоставляя это с тем, что, как показано нами, si ( (L) [pic], мы видим, что
(R)[pic] = (L) [pic].
Таким образом, имеет место

Теорема 3. Всякая функция, интегрируемая (R), необходимо интегрируема и
(L), и оба ее интеграла равны между собой.

В заключение отметим, что функция Дирихле ((x) (равная нулю в иррациональных и единице в рациональных точках) интегрируема (L) (ибо она эквивалентна нулю), но, как мы видели в пункте 2, не интегрируема (R), так что теорема 3 не обратима.

6. Примеры
1) Вычислить интеграл Лебега от функции [pic] на интервале (1; 2).
Строим срезку

N, f(x) ( N, fN(x) = f(x), f(x) ( N.

[pic] = N, x = 1 + [pic].