Интеграл Пуассона

| Категория реферата: Рефераты по математике
| Теги реферата: культурология как наука, оформление доклада титульный лист
| Добавил(а) на сайт: Elizaveta.

[pic].

Доказательство.
В силу (3) и свойства б) ядра Пуассона

[pic] ( 12 )
Для любой функции [pic] , пользуясь неравенством Гельдера и положительностью ядра Пуассона , находим
[pic]
[pic][pic]
[pic].
Следовательно,

[pic][pic].
Для данного ( ( ( найдем ( = ( (() такое, что [pic]. Тогда для r , достаточно близких к единице, мы получим оценку
[pic][pic][pic].
Аналогично второе неравенство вытекает из неравенства

[pic][pic].

Теорема 1 доказана.

Дадим определения понятий "максимальная функция" и "оператор слабого типа", которые понадобятся нам в ходе доказательства следующей теоремы.
Определение1.
Пусть функция [pic] суммируема на любом интервале (-А, А), А > 0 .
Максимальной функцией для функции [pic] называется функция

[pic] где супремум берется по всем интервалам I , содержащим точку х.
Определение 2.
Оператор [pic] называется оператором слабого типа (р,р) , если для любого y
> 0
[pic] .

Теорема 2 (Фату).
Пусть [pic]- комплекснозначная функция из [pic] . Тогда

[pic] для п.в. [pic].

Доказательство.
Покажем, что для [pic] и [pic]

[pic] ,

( 13 ) где С - абсолютная константа , а M ( f, x ) - максимальная функция для f
(x) [1]. Для этой цели используем легко выводимую из (5) оценку

[pic]
(К - абсолютная константа).
Пусть [pic]- такое число, что

[pic].
Тогда для [pic]
[pic]
[pic][pic][pic]
[pic][pic]
[pic].

Неравенство (13) доказано. Используя затем слабый тип (1,1) оператора
[pic], найдем такую последовательность функций [pic] ,что

[pic],

[pic] ( 14 )

[pic] для п.в. [pic].

Согласно (13) при x( (-2(((()
[pic]
[pic]
Учитывая , что по теореме 1 [pic] для каждого x( [-(( (] и (14)
Из последней оценки получим

[pic] при n((.

Теорема 2 доказана.
Замечание.
Используя вместо (13) более сильное неравенство (59), которое мы докажем позже, можно показать, что для п.в. x( [-(( (] [pic], когда точка reit стремится к eix по некасательному к окружности [pic] пути.

--------------------
[1] Мы считаем , что f (x) продолжена с сохранением периодичности на отрезок ((2((2(( (т.е. [pic]

f (x) = f (y) , если x,y ( [-2(,2(] и x-y=2() и f (x) = 0 , если
(x( ( (( .