Интеграл Пуассона.

Пусть ((x( , g(x) , x(R1 –суммируемые на (-(, (( , 2(- периодические, комплекснозначные функции. Через f(g(x) будем обозначать свертку

[pic] f(g(x) =[pic][pic]dt[pic][pic] [pic][pic]

Из теоремы Фубини легко следует, что свертка суммируемых функций также суммируема на (-(,(( и cn ( f(g ) = cn ( f )( cn ( g ) , n = 0, (1 , (2 , ... ( 1 )

где ( cn ( f )( -- коэффициенты Фурье функции f ( x ) : cn = [pic]-i n tdt , n = 0, ((((((((

Пусть ( ((L1 (-((((() . Рассмотрим при ( ( r ((( функцию

(r ( x ) = [pic]n ( f ) r((n ( ei n x , x ((((((((((( , ( 2 ) где ряд в правой части равенства (2) сходится равномерно по х для любого фиксированного r , ( ((r ((( . Коэффициенты Фурье функции (r (х( равны cn ( fr ) = cn ( r( n (( , n = 0 , ((((((((((, а это согласно (1) значит, что (r ( x ( можно представить в виде свертки :[pic]

(r ( x ) = [pic] ,

( 3 ) где

[pic] , t (
((((((((((( ( 4 )

Функция двух переменных Рr (t) , 0 (((r((( , t ((((((((( ( , называется ядром Пуассона , а интеграл (3) -- интегралом Пуассона .
[pic][pic][pic][pic][pic]
Следовательно,

Pr ( t ) = [pic] , 0(((r ( ( , t (((((((((( .

( 5 )
Если (( L( ( -(( ( ) ( действительная функция , то , учитывая , что c-n ( f ) = (cn( f ) , n = 0((((((((((( из соотношения (2) мы получим :

fr ( x ) = [pic]

=[pic] ,

( 6 ) где

F ( z ) = c0 ( f ) + 2 [pic] ( z = reix ) ( 7 )
- аналитическая в единичном круге функция . Равенство (6) показывает, что для любой действительной функции (( L1( -(, ( ) интегралом Пуассона (3) определяется гармоническая в единичном круге функция u ( z ) = (r (eix ) , z = reix , 0 (( r (1 , x (
[ -(, ( ] .
При этом гармонически сопряженная с u (z) функция v (z) c v (0) = 0 задается формулой v (z) = Im F (z) = [pic] .

( 8 )
Утверждение1.
Пусть u (z) - гармоническая ( или аналитическая ) в круге ( z (((((((((
( ((( ( функция и ( (x) = u (eix) , x(((((, ( ( . Тогда u (z) = [pic] ( z = reix , ( z ( ( ( )

( 10 ).

Так как ядро Пуассона Pr (t) - действительная функция, то равенство (10) достаточно проверить в случае, когда u (z) - аналитическая функция:

[pic] =[pic], ( z ( (
(+ ( .
Но тогда

[pic] и равенство (10) сразу следует из (2) и (3).

Прежде чем перейти к изучению поведения функции (r (x) при r(( , отметим некоторые свойства ядра Пуассона: а) [pic] ; б) [pic] ; в) для любого (>0

[pic]
Соотношения а) и в) сразу следуют из формулы (5), а для доказательства б) достаточно положить в (2) и (3) ( (х( ( (.[pic]
Теорема 1.
Для произвольной (комплекснозначной) функции [pic]( -(, ( ) , 1 ( p < ( , имеет место равенство[pic]

[pic] ; если же ( (x) непрерывна на [ -(, ( ] и ( (-() = ( (() , то