Предыдущая страница реферата | 1  2  3  4  5  6  7 | Следующая страница реферата

Английский язык может служить прекрасным и могучим средством передачи интересной, ясной и совершенно точной информации. Я уверен, что то же самое верно для французского, японского или русского языков. Для автора текста так же важно непринужденно пользоваться этим инструментом, как для хирурга — свободно владеть скальпелем. Евклида можно объяснить малограмотным и корявым языком; воспаленный аппендикс можно удалить ржавым карманным ножиком. Однако пострадавший, даже если он не осознает причины своих страданий, наверняка предпочел бы лучшее обращение с собой.

Все математики, даже совсем юные студенты, только начинающие математическое образование, знают, что математика имеет свой собственный язык (фактически, она сама является языком) и автор обязан владеть грамматикой и лексикой этого языка так же свободно, как своего родного. Краткосрочных курсов языка математики не существует; наверное, единственный способ изучить его — прожить с ним годы. Нижеследующие соображения. конечно, не составляют (да и не могут составить) математического аналога Фаулера, Роже или Вебстера. Однако они могут подсказать дюжину-другую тысяч пунктов, которые следовало бы включить в такие словари.

9. Честность — лучшая политика . Хорошим математическим языком нужно пользоваться для того, чтобы облегчить читателю понимание предмета и, может быть даже, сделать процесс усвоения радостным. Такой стиль ценен не дешевым блеском, а предельной ненавязчивостыо. Цель в том, чтобы сгладить путь читателя, предвидеть и предвосхищать его трудности. Ясность — вот что желательно, а не педантизм; понимание, а не суетливость по пустякам.

Категоричность этих требований, возможно, и необходимая, может быть неверно понята; спешу уточнить. Когда я говорю, что нужно избегать педантизма и суетливости, я вовсе не имею в виду строгость и аккуратность; я верю, что одно другому не противоречит и не помышляю советовать молодому автору мошенничать, пусть самую малость и очень остроумно, или заниматься затушевыванием трудностей. Иногда, например, результат получается после громоздких вычислений и ничего лучше придумать не удается. В таком случае долг автора — публично выполнить эти вычисления; самое большее, что он может сделать для облегчения — выразить свое сострадание читателю какой-нибудь фразой вроде: «К сожалению, единственное известное доказательство состоит в следующем громоздком вычислении».

А вот пример того, что, на мой взгляд, является не вполне честным. Допустим, что в каком-то пункте изложения, бойко доказав некоторое предложение p, вы вдруг захотели сказать: «Заметим, однако, что из p не следует q», а потом, решив, что вы уже здóрово все объяснили, благополучно перешли к другим вещам. Ваши побуждения могут быть при этом совершенно чистыми, однако читатель все равно вправе чувствовать себя обманутым. Если бы ему было все известно о вашем предмете, он не читал бы написанного вами; вполне возможно, что указанное вами отсутствие импликации ему не ясно. Что это — очевидно? (Тогда так и скажите.) Или позднее будут даны контрпримеры? (Тогда пообещайте их теперь же.) Может быть, это — стандартный факт, имеющийся в литературе, но для ваших нынешних целей несущественный? (Дайте ссылку.) А может быть, страшно сказать, вы попросту безуспешно пытались вывести q из p, да так и не узнали, следует ли q из p на самом деле? (Немедленно признайтесь!) В любом случае: окажите читателю полное доверие.

Нет ничего плохого в использовании многократно осмеянных оборотов «очевидно» и «легко видеть», однако, есть минимальные ограничения, которые следует соблюдать. Написав, что нечто очевидно, вы наверное так и думали. Но когда, спустя месяц, или два, или шесть вы вынули рукопись и перечитали ее заново, вы по-прежнему продолжаете так считать? (Дозревание в течение нескольких месяцев всегда улучшает рукописи.) Когда вы объясняли это другу или на семинаре, было ли это место воспринято как очевидное? (Или кто-нибудь задавал вопросы и усаживался ворча, после ваших уговоров? Вы его убедили или запугали?) Ответы на эти риторические вопросы ограничивают использование слова «очевидно». Есть еще и другое правило, главное; его знает каждый; нарушение этого правила — самый частый источник математических ошибок; удостоверьтесь в том, что «очевидное» — верно.

Само собой разумеется, что вы пишете не для того, чтобы скрыть факты от читателя: вы пишете, чтобы раскрыть их. Я хочу этим сказать, что вы не должны утаивать от читателя истинного положения ваших утверждений в системе, как и вашего отношения к ним. Как только вы сообщаете что-нибудь, скажите читателю, было ли это уже доказано, или не было, будет ли это доказываться, или не будет. Подчеркивайте важное и сводите к минимуму тривиальности. Существует много хороших доводов в пользу очевидных утверждений, рассеянных там и сям по тексту, но об их очевидности нужно говорить, чтобы новичок видел их в должном свете. Даже если тот или иной читатель и рассердится на вас за это, вы поступаете правильно, сообщая ему вашу точку зрения на предмет. Но, конечно, вы должны подчиняться правилам. Не подводите читателя; он хочет вам верить. Претенциозность, обман и недомолвки могут обнаружиться не сразу, но большинство читателей вскоре почувствует, что что-то не так; тогда они будут винить не факты и не самих себя, а автора, как и должно быть. Абсолютная честность в изложении помогает максимальной ясности.

10. Долой все тривиальное и несущественное . Бывает так, что утверждение, очевидное настолько, что об этом и говорить не стоит, формулируется в плохой фразе, которая задерживает внимание, запутывает и смущает. Я имею в виду что-нибудь такое: «Пусть R — коммутативное полупростое кольцо с единицей и пусть x, y Î R; тогда х² – у² = (х – y)(х + y)». Бдительный читатель начнет себя спрашивать, какое значение полупростота и единица имеют для того факта, который он всегда считал очевидным. Не относящиеся к делу предположения, бессмысленно втиснутые в текст, неверный акцент или даже отсутствие правильного акцента могут разрушить все изложение.

Отвлекающие и ненужные предположения служат причиной лишней траты читательского времени; почти столько же времени отнимает автор, не завоевавший доверия читателя явным упоминанием тривиальных случаев, или, если нужно, исключением их. Всякое комплексное число является произведением некоторого неотрицательного числа и некоторого числа с модулем 1. Это верно, но читатель будет себя чувствовать неуверенно, если сразу после сказанного (быть может, ему напоминали это по какому-нибудь поводу, перед введением очередного обобщения) ему не сообщили ничего о сомнительном поведении нуля (тривиальный случай). Дело не в том, что отказ от отдельного разбора тривиальных случаев может иногда составлять математическую ошибку; я не говорю здесь: «Не делайте ошибок». Дело в том, что отстаивание формально правильных, но недостаточно подробных объяснений («Утверждение верно в приведенной формулировке — чего вы еще хотите?») приводит к искаженному, плохому изложению, плохому в психологическом отношении. Оно может быть плохим и с точки зрения математики. Если, например, автор собирается обсуждать теорему о том, что, при соответствующих условиях, каждое линейное преобразование является произведением растяжений и вращения, но обходит молчанием случай нуля на одномерном пространстве, то у читателя складывается неверное представление о поведении вырожденных линейных преобразований в общем случае.

Здесь, пожалуй, уместнее всего сказать несколько слов о формулировках теорем: именно в них, более, чем где бы то ни было, необходимо избегать не относящихся к делу деталей.

Первый вопрос по этому поводу: когда формулировать теорему? Мой ответ: сразу. Избегайте праздных бесед бог весть о чем, в конце которых внезапно объявляется: «Итак, мы доказали, что...». Читатель будет гораздо внимательнее к доказательству, когда он знает, чтó вы доказываете; ему будет яснее, где используются предпосылки, если он знает их. (Праздный подход часто приводит к теоремам, повисающим в воздухе, что, по-моему, безобразно. Я имею в виду такие пассажи: «Итак, мы доказали

Т е о р е м у  2. …».

Такой перепад разрубает фразу; после того как читатель соберется с мыслями и сообразит, какую шутку с ним сыграли, этот прием произведет нежелательное отделение утверждения теоремы от ее формулировки.)

Я не хочу сказать этим, что теорема должна появляться без вводных замечаний, предварительных определений и вспомогательных мотивировок. Все это идет сначала; потом — формулировка, и, наконец, доказательство. Формулировка теоремы должна состоять, по возможности, из одной фразы: простой импликации, или, если некоторые общие предпосылки были сформулированы заранее и остаются в силе, — простого утверждения. Разговоры вроде: «Без нарушения общности мы можем предположить...» или «Более того, из теоремы 1 следует...» оставляйте за пределами формулировки.

В идеале утверждение теоремы — это не просто одна фраза, а фраза короткая. Теоремы, формулировки которых занимают почти всю страницу (или еще больше!), трудно воспринимать, труднее, чем следует. Они показывают, что автор не продумал материал, и не организовал его. Список из восьми предпосылок (даже если они аккуратно сформулированы) и список из шести утверждений — это не теорема: это — плохо изложенная теория. Все ли предпосылки нужны для каждого утверждения? Если ответ отрицателен, то очевидно, что формулировка плоха; если же ответ положителен, то, вероятно, предпосылки описывают некое общее понятие, которое заслуживает быть выделенным, специально названным и изученным.

11. Повторяйтесь и не повторяйтесь . Одно важное правило хорошего математического стиля требует повторений, а другое — требует избегать их.

Под повторением в первом правиле я подразумеваю не произнесение одной и той же вещи несколько раз с помощью разных слов. Я имею ввиду дословное повторение фразы или даже нескольких фраз в изложении такого точного предмета, как математика, с той целью, чтобы подчеркнуть небольшие изменения в соседнем предложении. Если вы что-то определили, сформулировали или доказали в главе 1, а в главе 2 хотите заняться параллельной или более общей теорией, то вы очень поможете читателю, повторяя те же слова и в том же порядке, пока это возможно; только после этого, под приличествующий барабанный бой, введите новшество. Барабанный бой необходим. Недостаточно перечислить шесть прилагательных в одном предложении, а в другом просто повторить пять из них, слегка ослабив шестое. Сверх этого нужно еще сказать: «Обратите внимание на то, что первые пять условий в определениях p и q одинаковы; различие между p и q заключено в ослаблении шестого условия».

Зачастую для того, чтобы поступить так в главе 2, вам придется вернуться к главе 1 и переписать в ней то, что вам казалось написанным уже достаточно хорошо, — на этот раз для подчеркивания параллелизма с соответствующей частью главы 2. Это, кстати, другая иллюстрация неизбежности спирального плана при сочинении, и другой аспект организации материала.

В предыдущих абзацах описывалась важная разновидность математического повторения — полезная; вот две другие — вредные.

Одна из причин, по которой повторение часто рассматривается как прием эффективного обучения, заключается в следующем: предполагается, что чем чаще вы повторяете одно и то же, тем более вероятно, что вы втолкуете сим материал. Я не согласен. Когда вы что-нибудь повторяете во второй раз, даже самый тупой читатель смутно припомнит, что ведь был и первый раз, и начнет спрашивать себя, то ли это самое, что уже было, или только похожее. (Тут может помочь фраза вроде: «Сейчас я говорю в точности то же самое, что впервые сказал на стр. 3».) Если хоть тень такого недоумения появляется, это плохо. Все то плохо, что без необходимости настораживает, развлекает по пустякам или каким-нибудь другим способом отвлекает внимание. (Нечаянные двусмысленности — проклятие многих авторов.) Кроме того, хорошая организация материала и, в частности, спиральный план, о котором речь шла выше, заменяют повторения гораздо эффективнее.

Вторая разновидность вредных повторений описана в короткой и лишь отчасти неточной заповеди: никогда не повторяйте доказательство. Если некоторые шаги в доказательстве теоремы 2 очень похожи на некоторые части доказательства теоремы 1, то это сигнал недопонимания. Вот другие симптомы этой болезни: «С помощью той же техники (того же метода, приема), которая применялась (или который использовался) в доказательстве теоремы 1...»; еще хуже: «См. доказательство теоремы 1». Когда случается такая вещь, то очень может быть, что на самом деле существует лемма, из которой с большой легкостью и ясностью выводятся обе теоремы; такую лемму стоит поискать, сформулировать и доказать.

12. Книжное «мы» не всегда плохо . Начинающих авторов часто беспокоит выбор между «я», «мы» и безличными формулировками. В случаях, подобных этому, здравый смысл важнее всего. По причинам целесообразности я выскажу здесь свои рекомендации.

Поскольку лучший стиль — наименее навязчивый, я склоняюсь к нейтральным оборотам. Но это не означает, что нужно один из них использовать чаще других или, того хуже, всегда. (Фразы типа: «итак, установлено, что...» ужасны.) Это означает полное отсутствие личных местоимений первого лица как в единственном, так и во множественном числе. «Так как имеет место р, q также справедливо...». «Из этого следует p». «Применение p к q дает r». Почти все (все?) математические сочинения — информативны (или должны быть такими?); простые повествовательные предложения — лучшее средство для сообщения фактов.

Иногда эффективно и желательно использование повелительного наклонения. «Чтобы найти р, умножьте q на r». «При данном р приравняйте q и r». (Два отступления по поводу «Дано». (1) Не употребляйте это слово, когда оно ничего не обозначает. Например: «Для любого данного р существует q». (2) Помните, что оно происходит от активного глагола и не любит болтаться просто так. Пример: не «если дано p, то существует q», а «для данного p найдем q».)

Нет ничего худого в книжном «мы», но, если оно вам нравится, пользуйтесь им правильно. Пусть «мы» означает «автор и читатель» (или «лектор и аудитория»). Вы можете благополучно сказать «Используя лемму 2, мы можем обобщить теорему 1» или «Лемма 3 дает нам технику доказательства теоремы 4». Но не годятся утверждения вроде: «Мы получили этот результат в 1969 году» (если только это не будет голосом двух или более авторов, говорящих в унисон), или «Мы благодарим нашу жену за помощь при перепечатке рукописи».

Рекомендуем скачать другие рефераты по теме: как лечить шпоры, реферат мыло.





Предыдущая страница реферата | 1  2  3  4  5  6  7 | Следующая страница реферата