Claw.ru | Рефераты по математике | Как писать математические тексты Как писать математические тексты | Категория реферата: Рефераты по математике | Теги реферата: шпаргалки по математике, шпаргалки на экзамен | Добавил(а) на сайт: Fiveja. Предыдущая страница реферата | 1  2  3  4  5  6  7 | Следующая страница реферата
	0

как некоторую, скажем, теорему о фиксированной функции f. Если позже вы столкнетесь с другой функцией g, которая тоже обладает этим свойством, то воспротивьтесь желанию сказать: «g также удовлетворяет (*)». Ведь это — бессмыслица с точки зрения и логики и обозначений. Вместо этого скажите «условие (*) остается верным, если заменить f на g» или, что еще лучше, назовите как-нибудь свойство (*) (в данном случае общепринятое название уже есть) и говорите так: «g тоже принадлежит пространству L²(0,1)».

Что можно сказать о выражениях типа «неравенство (*)», «уравнение (7)» или «формула (iii)»? Следует ли отмечать либо нумеровать все, что вынесено между строк? Мой ответ: нет. Причина: бесполезные ярлычки не нужны так же, как излишние предпосылки или никчемные обозначения. Небольшая часть внимания отвлекается на этот значок и уголком мозга читатель станет думать, к чему бы это. Если номер и вправду нужен, то внимание читателя будет незаметно подготовлено к будущей ссылке на эту же идею, но если ни к чему, то внимание и ожидание пропали впустую.

Итак, пользоваться ярлычками следует скупо, но не впадайте в крайность. Я не советую поступать так, как однажды поступил Диксон [2 ]. На стр. 89 он говорит: «Затем... мы получаем (1)» — а ведь на стр. 89 начинается новая глава и там вообще нет ни одной выделенной формулы, тем более с номером (1). Оказывается, ссылка (1) находится на стр. 90, на обороте, а мне бы и в голову не пришло искать ее там. Минут пять я был в шоке после этой шутки; когда же, наконец, я увидел свет, то почувствовал себя околпаченным и замороченным, и уже никогда не простил этого Диксону.

Громоздкие обозначения часто возникают при проведении индукции. Порой это неизбежно. Однако чаще достаточно объяснить переход от 1 к 2 и заключить воздушным «и так далее». Это не проигрывает в строгости подробным вычислениям, зато гораздо понятнее и убедительнее. Точно так же какое-нибудь общее утверждение об (n×n)-матрицах часто лучше всего доказывается не подробным выписыванием всевозможных символов aij с многоточиями, расположенными горизонтально, вертикально и по диагонали, а рассмотрением типичного частного случая (скажем 3×3).

Во всех моих рассуждениях о вреде обозначений есть своя логика. Дело в том, что для глупой вычислительной машины существует лишь одно строгое понятие математического доказательства. Для человеческого же существа, одаренного геометрической интуицией, ежедневно растущим опытом, нетерпением и неспособностью сосредоточиться на надоедливых деталях, это не годится. Еще одним примером тому может служить любое доказательство, состоящее из цепи выражений, соединенных знаками равенства. Такое доказательство легко написать. Автор начинает с первого равенства, совершает естественную подстановку, чтобы получить второе, группирует, переставляет, вносит и тут же вдохновенно сокращает множители и так продолжает до тех пор, пока не получит последнее равенство. Это — опять-таки разновидность кодирования, и читателю приходится одновременно расшифровывать и учиться по ходу дела. Такое удвоение работы бессмысленно. Если автор потратит лишние десять минут и напишет абзац тщательно обдуманных слов, он сбережет полчаса времени каждого из читателей и избавит их от лишних недоумении. Такой абзац должен представлять собой руководство к действиям, заменив бесполезный шифр, который лишь сообщает результаты действий и оставляет читателю гадать, как они получились. Руководство должно быть примерно таким: «Для доказательства подставим p вместо q, затем сгруппируем члены, переставим множители и, наконец, умножим и разделим на множитель r».

Известный прием плохого обучения — начинать доказательство со слов: «Для данного e положим d равным (e/(3M² + 2))½». Это — восходящий к традициям классического анализа способ писать доказательство от конца к началу. Его преимущество в том, что его легко проверить машине (но трудно понять человеку). Еще одно сомнительное преимущество этого же способа состоит в том, что в самом конце нечто оказывается меньше e, а не, скажем, (e(3M² + 7)/24)½. Как облегчить в данном случае жизнь читателю, очевидно: напишите доказательство от начала к концу. Начните, как всегда начинают авторы, фиксировав нечто меньшее, чем e, а потом делайте все, что нужно делать — когда нужно, умножайте на ЗM² + 7, потом — делите на 24 и т.д. и т.д. — пока не выйдет то, что выйдет. Ни одно из расположений материала не отличается изяществом, но второй способ по крайней мере легче схватывается и запоминается.

16. Правильно используйте обозначения . Со специальными знаками много вреда не наделаешь, но и здесь полезно быть последовательным и избегать в отдельности незаметных, а в совокупности разъедающих злоупотреблений. Например, хорошо использовать символ с таким постоянством, чтобы его словесный эквивалент был всегда одним и тем же. Это — хорошо, но почти невозможно. Тем не менее, лучше стремиться хоть к этому, чем ни к чему. Как следует читать Î: как сказуемое «лежит в» или как предлог «в»? Как правильно сказать: «Для всех х Î A имеем х Î B» или «Если х Î A, то х Î B»? Я решительно предпочитаю последнее (всегда читаю Î как «лежит в») и вдвойне осуждаю первое (ведь оба чтения встретились в одной фразе). Легко написать и легко прочитать: «Для всех х из A мы имеем: х Î B»; диссонанс и легкая двусмысленность обойдены. То же самое относится к Ì, несмотря на то, что словесный эквивалент здесь длиннее, и даже к символу £ . Фраза типа «Если только положительное число £3, то его квадрат £9» уродлива.

Не только абзацы, фразы, слова, буквы и математические символы, но и невинные с виду знаки обычного повествования могут служить источником недоумении; я имею в виду знаки препинания. Достаточно пары советов. Первый: уравнение, неравенство или включение, или любое другое математическое выражение, по своему содержанию эквивалентно некоторому предложению обычного языка и поэтому оно должно отделяться от соседних с ним выражений. Другими словами: расставляйте знаки препинания в символических фразах как в обычных словесных предложениях. Второй совет: не перетруждайте такие мелкие знаки, как точка или запятая. Читатель легко может проглядеть их, а такая оплошность вынуждает вернуться назад, вызывает замешательство, задерживает. Пример: «Предположим, что a Î X. X принадлежит классу C, ...». Точка между двумя буквами X несет излишнюю нагрузку. Вот еще: «Предположим, что X обращается в нуль. X принадлежит классу C, ...». Хорошее общее правило: никогда не начинайте фразу с символа. Если уж вы непременно хотите начать фразу с упоминания объекта, который обозначается данным символом, то и поставьте подходящее слово в самом начале: «Множество X принадлежит классу C, ...».

Перетруженная точка не хуже, чем перетруженная запятая. Не пишите «Если X обратим, X* также обратим»; лучше: «Если X обратим, то и сопряженный к нему X* также обратим». Не пишите также «Так как p ¹ 0, p Î U»; вместо этого пусть будет: «Из того, что p ¹ 0, следует, что p Î U». Даже обычная фраза «Не хотите, не надо» (т.е. ее математические эквиваленты) усваивается хуже, чем напыщенное «Если вам это и не нравится, то придется вам это проглотить». Я рекомендовал бы ставить после «если» «то» во всех математических текстах. Наличие слова «то» никогда не приведет к недоразумению, а вот его отсутствие — может.

Последняя техническая деталь, которая может помочь в писательской работе, и которую здесь следует упомянуть, в некотором смысле еще меньше, чем знаки препинания, в некотором смысле она просто невидима, но в другом смысле она заметнее всего на печатной странице. Я говорю о плане, архитектуре, внешнем виде страницы самой по себе и, вообще, всех страниц.

Опыт писательской работы и, возможно, трезвого и критического чтения должен придать вам способность чувствовать, как будет смотреться в напечатанном виде то, что вы пишете сейчас. Если текст выглядит как плотная проза, то в печати он приобретет вид непривлекательной проповеди; если это — вычислительная мешанина, и страница набита формулами, то в напечатанном виде текст будет пугать своей сложностью. Лучше всего — золотая середина. Делите текст, но не дробите его; пользуйтесь словесными периодами, но не слишком длинными. Выносите формулы между строк, чтобы глаза могли помогать мозгу; применяйте символы, но перекладывайте их словами, чтобы внимание не плутало в чаще индексов.

17. Всякое сообщение требует организации . Выше я уже говорил, а сейчас хотел бы подчеркнуть это вновь, что различия между книгами, статьями, лекциями и письмами и всеми иными способами сообщения, какие вы можете придумать, меньше, чем сходство.

Когда вы пишете исследовательскую статью, роль «клочков бумаги», из которых составляется набросок книги, могут играть открытые вами теоремы и доказательства; вам все равно придется раскладывать из них пасьянс.

С лекцией дело обстоит немного иначе. Поначалу лекция — это статья; вы планируете ее и пишете как статью. Различие состоит в том, что вам приходится держать в уме трудности устного ее воспроизведения. Читатель может разрешить себе отвлечься, а потом вновь ухватить нить повествования, не потеряв ничего, кроме собственного времени. Слушатели в аудитории не могут себе этого позволить. Читатель может попытаться доказать ваши теоремы самостоятельно, используя при этом ваше изложение как контролирующее подспорье, а слушатель не может этого сделать. Продолжительность очередной порции читательского внимания довольно коротка, а у слушателя она намного короче. Если вычисления неизбежны, то читателя можно им подвергнуть, а слушателя — никогда. Половина искусства хорошо писать — это искусство пропускать; для лектора искусство пропускать составляет девять десятых дела. Здесь различия еще невелики. Даже хорошо написанная статья, прочитанная вслух, может оказаться ужасной лекцией; она, однако, не будет хуже некоторых лекций, которые мне доводилось слушать.

Для лектора вид печатной страницы заменяется видом доски, а воображаемая автором аудитория — живыми людьми. Это уже значительные различия. Доска открывает возможности, которых нет у листа бумаги: на ней можно показать, как тема живет и растет. (Лекторы, подготовляющие доску заранее и записывающие ее целиком до того, как начинают говорить, поступают неразумно и недоброжелательно по отношению к слушателям.) Живые люди обеспечивают мгновенную реакцию на сказанное; для автора текста это — недостижимая мечта.

Основные проблемы общения при изложении во всех случаях одинаковы; их я и описал в этом очерке. Содержание, цель и организация изложения, плюс жизненно важные детали грамматики, стиля и обозначений, но ни в коем случае не показные трюки, — вот основные составляющие элементы хороших лекций и хороших книг.

18. Отстаивайте свой стиль . Ровная, последовательная, эффективная манера изложения имеет своих врагов; эти враги называются помощниками редактора или корректорами.

Редактор может оказать огромную помощь автору текста. Обычно авторы математических текстов живут без этой помощи, потому что редактор математической книги должен быть математиком, а редакторов-математиков очень мало. Идеальный редактор, который в принципе должен разбираться в теме до мелочей, может высказать квалифицированную, но беспристрастную точку зрения на проделанную автором работу; сам автор этого сделать не может. Идеальный редактор представляет собой объединение друга, жены, ученика и студента младшего курса, роль которых в создании книг описана выше. Математические редакторы книжных серий и журналов даже близко не подходят к этому идеалу. Издательская работа является лишь небольшой частью их жизни, тогда как для хорошего редактора она должна целиком заполнять рабочий день. Идеального математического редактора не существует; комбинация друг — жена — и т.д. — лишь почти идеальная замена.

Помощник редактора — это весь день работающий сотрудник, задача которого состоит в обнаружении вашей непоследовательности, ваших грамматических и стилистических ошибок — словом, всевозможных огрехов, за исключением математических. Беда в том, что помощник редактора не рассматривает себя как продолжение автора, а, как правило, вырождается в робота, некстати применяющего механически механические правила. Позвольте привести некоторые примеры.

Однажды я изучал некоторые преобразования, названные «measure-preserving» 7 . (Обратите внимание на дефис: он играет важную роль, соединяя два слова в одно прилагательное.) Соответствующим свойством не обладали другие преобразования, участвующие в изложении; разумеется, на это обстоятельство было указано с помощью приставки «non». После длинного ряда неверно понятых указаний в верстке появились «non measure preserving transformations». Конечно, это — бессмыслица, хоть и забавная, но отвлекающая и неприятная.

Один знакомый математик говорил, что в рукописи своей книги он написал нечто вроде следующего: «p или q имеют место в зависимости от того, является ли, соответственно, x отрицательным или положительным». Помощник редактора исправил это так: «p или q имеют место в зависимости от того, является ли, соответственно, x положительным или отрицательным»; ему показалось, что так фраза звучит лучше. Это было бы смешно, если бы не было так грустно, и, конечно, совершенно ошибочно.

Общая жалоба всех, когда-либо обсуждавших с помощником редактора вопрос о кавычках, связана с отношением кавычек к другим знакам препинания. По-видимому, существует международное соглашение печатников, согласно которому точка или запятая сразу после кавычек «некрасивы». (Как здесь: помощник редактора исправил бы конец фразы на «некрасивы.» 8 , если бы я ему это позволил.) С точки зрения логичного математика (и тем более, математического логика) такое соглашение не имеет смысла; запятая или точка должны появляться там, где того требует логика ситуации. Например: Он сказал: «Запятая — это некрасиво.» 8. Здесь, очевидно, точка относится к закавыченной фразе; две описанные ситуации различны и никакое негибкое правило нельзя применить к ним обеим.

Рекомендуем скачать другие рефераты по теме: как лечить шпоры, реферат мыло.





Предыдущая страница реферата | 1  2  3  4  5  6  7 | Следующая страница реферата