Предыдущая страница реферата | 1  2  3  4  5  6 | Следующая страница реферата

 В примере 4 сумма двух комплексных чисел равна действительному числу. Два комплексных числа a+bi и a-bi называются сопряженными. Сумма сопряженных комплексных чисел равна действительному числу.

 З а м е ч а н и е. Теперь, когда действие сложения определено, мы имеем право рассматривать комплексное число a + bi как сумму чисел a и bi. Так, число 2 и число 5i в сумме дают число 2 + 5i.

                               4.Вычитание комплексных чисел.

О п р е д е л е н и е. Разностью комплексных чисел a + bi (уменьшаемое) и a’ + b’i (вычитаемое) называется комплексное число (a – a’) + (b – b’)i.

Пример 1. (-5 + 2i) – (3 – 5i) = -8 + 7i

Пример 2. (3 + 2i) – (-3 + 2i) = 6 + 0i = 6

                                   5.Умножение комплексных чисел.

 Определение умножения комплексных чисел устанавливается с таким расчетом, чтобы 1) числа a + bi и a’ + b’i можно было перемножать, как алгебраические двучлены, и чтобы 2) число i обладало свойством i 2­­­­­= - 1. В силу требования 1) произведение (a + bi)(a’ + b’i) должно равняться  aa’ + (ab’ + ba’)i + bb’i2­­­ ­, а в силу требования 2) это выражение должно равняться (aa’ – bb’) +                           (ab’ + ba’)i. В соответствии с этим устанавливается следующее определение.

 О п р е д е л е н и е.  Произведением комплексных чисел a + bi и a’ + b’i называется комплексное число

                                     (aa’ – bb’) + (ab’ + ba’)i.

З а м е ч а н и е 1. Равенство i2­­­­­­­­­­­ = -1 до установленного правила умножения комплексных чисел носило характер требования. Теперь оно вытекает из определения. Ведь запись i 2 ­­­­­­­­­­­­, т. е. i*i, равнозначна записи (0 + 1*i)(0 + 1*i). Здесь a = 0, b = 1, a’ = 0, b’ = 1 Имеем aa’ – bb’ = -1, ab’ + ba’ = 0, так что произведение есть       –1 + 0i, т. е. –1.     

З а м е ч а н и е 2. На практике нет нужды пользоваться формулой произведения. Можно перемножить данные числа, как двучлены, а затем положить, что i2­­­­ = -1.

Пример 1. (1 – 2i)(3 + 2i) = 3 – 6i + 2i – 4i 2 ­ = 3 – 6i + 2i + 4 = 7 – 4i.

Пример 2. (a + bi)(a – bi) = a2 + b 2

Пример 2 показывает, что произведение сопряженных комплексных чисел есть действительное и притом положительное число.

                   6. Деление комплексных чисел.

 Всоответсвии с определением деления действительных чисел устанавливается следующее определение.

 О п р е д л е н и е. Разделить комплексное число a + bi на комплексное число a’ + b’i – значит найти такое число x + yi, которое, будучи помножено на делитель, даст делимое.

 Если делитель не равен нулю, то деление всегда возможно, и частное единственно ( доказательство смотри в замечании 2). На практике частное удобнее всего находить следующим образом.

 Пример 1. Найти частное (7 – 4i):(3 + 2i).

 Записав дробь (7 – 4i)/(3 + 2i), расширяем её на число 3 – 2i, сопряженное с 3 + 2i.  Получим:

((7 – 4i)(3 - 2i))/((3 + 2i)(3 – 2i)) = (13 – 26i)/13 = 1 – 2i.

 Пример 1 предудущего параграфа даёт проверку.

 Пример 2. (-2 +5i)/(-3 –4i) = ((-2 + 5i)(-3 – 4i))/((-3 – 4i)( -3 + 4i)) = (-14 –23i)/25 = -0,56 – 0.92i.

 Проступая, как в примерах 1 и 2,  найдем общую формулу:

Рекомендуем скачать другие рефераты по теме: скачать решебник, дипломная работа 2011.





Предыдущая страница реферата | 1  2  3  4  5  6 | Следующая страница реферата