Комплексный анализ

Открытые и замкнутые мн-ва, предельная точка, замыкание..

Комплексным числом называется число вида x + iy , где x действительная, а y – мнимая часть числа. Пусть  i2=-1, тогда С – поле. Множество комплексных чисел можно интерпретировать как комплексную плоскость.

Сферой Римана называется множество комплексных чисел, пополненное “бесконечностью”. Сферу Римана можно интерпретировать как обычную сферу.

Отображение из S2 N на комплексную плоскость взаимно однозначно.

 Функции отображения точек сферы Римана (x,h,z) на комплексную плоскость (х, у) и обратно: Прямое отображение:  ; ; . Обратное отображение: ;.

Метрика на плоскости определяется ф-лой .

Метрика на сфере Римана определяется ф-лой : .

Комплексной функцией на С называется отображение точки из С в точку на сфере Римана.

Гомеоморфизмом наз. непрерывное взаимно однозначное отображение.

Путем называется комплекснозначная функция, заданная на отрезке, непрерывная в каждой точке его.

Жордановым путем называется путь, обладающий св-вом гомеоморфизма.

Топологические отображения элементарными функциями (zn, 1/z. ez,Ж(z)). Области однолистности. Комбинация элементарных функций (cos(z), ch(z),…) и их обратные. Понятие неоднозначной функции. Группа добно-линейных отображений и ее св-ва. R и C дифференцируемость. Условия Коши-Римана. Определение аналитических функций. Конформность голоморфного отображения.

Дробно-линейным называется отображение (функция) вида (az+b)/(cz+d), ad-bc¹0.

Обобщенной окружностью называется окружность или прямая.

Теорема. Дробно-линейная функция гомеоморфно отображает комплексную плоскость на сферу Римана.. В частности, оно переводит обобщенную окружность в обобщенную окружность.

Дробно-линейные функции порождают группу.

Симметричными относительно окружности называются такие две точки, лежащие на одном луче,  что произведение расстояний от которых до центра окружности равно квадрату радиуса .

Теорема. Дробно-линейные  функции отображают  симметричные точки в симметричные.

Обобщенной окружностью называется  окружность или прямая.

Однолистной называется такая функция, что из совпадения двух точек образа следует равенство прообразов.

Многолистной называется функция, не обладающая взаимной однозначностью.

С дифференцируемой (R-дифференцируемой) функцией F называется функция, отличная от С-линейной (R-линейной) на бесконечно малую величину в достаточно малой окрестности точки z, то есть при малых Dz, DF=F(z+Dz)-F(z)=l(Dz) + o(Dz),.

Дифференциалом отображения С-дифференцируемой функции F  называется ее линейное приращение l(Dz) в достаточно малой D-окрестности заданной точки z .

Конформной называется такое R-дифференцируемое  отображение, сохраняющее углы.

Производной функции F называется предел отношения двух приращений: дифференциала функции к  приращению аргумента.

Рекомендуем скачать другие рефераты по теме: рассказы, цивилизация реферат.





1  2 | Следующая страница реферата