Критерии устойчивости линейных систем

| Категория реферата: Рефераты по математике
| Теги реферата: шпори скачать, сочинение евгений онегин
| Добавил(а) на сайт: Фекуса.

[pic]

Таким образом, корни характеристического уравнения цепи являются полюсами передаточной функции К(р) этой цепи.

Отсюда следует, что сформулированные выше условия отрицательности действительных корней равносильны следующему утверждению : для устойчивости цепи необ-ходимо, чтобы передаточная функция К(р) не имела полю-сов в правой полуплоскости комплексной переменной р.

В тех случаях, когда цепь описывается дифференциальным уравнением высокого порядка, исследование корней характеристического уравнения, необходимое для решения вопроса об устойчивости системы, является сложной задачей.

Однако ее можно решить, анализируя соотношения между коэффициентами уравнения без определения самих коэффициентов. Это можно сделать с помощью теоремы

Гурвица, которая утверждает, что для того, чтобы действительные части всех корней уравнения

[pic]

c действительными коэффициентами и b0>0 были отрицательными, необходимо и достаточно, чтобы были положительными все определители (1, (2, ..., (m, составленные из коэффициентов уравнения по следующей схеме :

[pic] и т. д.

Сформулированный алгебраический критерий устойчивости называют критерием Рауса - Гурвица.

При составлении определителей по указанной схеме коэффициенты с индексом, превышающим степень характеристического уравнения заменяют нулями. Поэтому для уравнения четвертой степени получаются следующие определители :

[pic]

В результате несложно видеть, что выполняется равенство

[pic]

Отсюда по теореме Гурвица следуют условия устойчивости (в виде следующих неравенств):

[pic]

Так, для характеристического уравнения второй степени

[pic]

Критерий Рауса - Гурвица особенно удобен для проверки устойчивости цепи с заданными параметрами: вычисления относительно просты. Недостатком этого критерия является ограниченность применения: область применения критерия ограничена цепями с сосредоточенными параметрами, поскольку только для них передаточная функция выражается через многочлены. Кроме того этот критерий не дает ясных указаний на то как из неустойчивой цепи сделать устойчивую.

Геометрические критерии устойчивости.

Требование, чтобы передаточная функция

[pic]
[pic]

не имела полюсов в правой полуплоскости р = ((((i(, т.е. в области, ограниченной полуплоскостью бесконечно большого радиуса R и осью i( (см. рисунок), равносильно условию, что знаменатель выражения (2) не должен иметь нулей в указанной области или, что то же, функция

[pic] (*) не должна обращаться в единицу ни в одной из точек правой полуплоскости р.[1]

[pic]