Чувашский государственный университет им. И.Н. Ульянова

Кафедра высшей математики

КУРСОВАЯ РАБОТА на тему:

«Кривые третьего и четвертого порядка»

Выполнили: студенты группы С-12-00

Пинаев И.Н.

Искаков Р.Р.

Проверила: доцент кафедры высшей математики к.ф.-м.наук Самарина С.М.

Чебоксары, 2002

Декартов лист
1. Особенности формы. Декартовым листом называется кривая 3-го порядка, уравнение которой в прямоугольной системе имеет вид

[pic] (1)
Иногда удобно пользоваться параметрическими уравнениями декартова листа, которые можно получить, полагая y=tx, присоединяя к этому равенству равенство (1) и решая полученную систему относительно х и у, в результате будем иметь:
|[pic] |(2) |

откуда следует, что декартов лист является рациональной кривой.
Заметим еще, что полярное уравнение декартова листа имеет вид

[pic] (3)
Координаты х и у входят в уравнение декартова листа симметрично, откуда следует, что кривая симметрична относительно биссектрисы у=х. Обычное исследование на особые точки приводит к заключению, что начало координат является узловой точкой декартова листа. Уравнения касательных к алгебраической кривой в ее особой точке, совпадающей с началом координат, можно получить, как известно, приравнивая нулю группу членов низшей степени из уравнения этой кривой. В нашем случае имеем З аху = 0, откуда получим х
= 0 и у = 0 – искомые уравнения касательных в узловой точке. Эти касательные совпадают с координатными осями и, следовательно, в начале координат кривая пересекает сама себя под прямым углом. Легко видеть, что в первом координатном угле кривая делает петлю, которая пересекается с прямой у = х в точке

[pic]
Точки этой петли, в которых касательные параллельны координатным осям, имеют координаты

[pic] и [pic] (cм. рис. 1)
Для окончательного заключения о форме кривой следует еще найти асимптоту[pic] Заменяя в уравнении кривой у на [pic] приравняем нулю в полученном уравнении коэффициенты двух членов с высшими степенями х.
Получим [pic]
[pic]и b = - а. Таким образом, декартов лист имеет асимптоту у = — х — а; следовательно, во 2-м и 4-м координатных углах ветви декартова листа уходят в бесконечность.

[pic]

Рис. 1
2. Свойства. Согласно теореме Маклорена, если в трех точках алгебраической кривой 3-го порядка, лежащих на одной прямой, провести касательные к этой кривой, то точки их пересечения с кривой будут лежать также на прямой линии. Применительно к декартову листу эта теорема доказывается просто.
Выведем с этой целью предварительно условие пребывания трех точек декартова листа, соответствующих значениям t1 , t2 и t3 параметра, на одной прямой.
Если уравнение прямой имеет вид y=kx+b, то значения параметра, соответствующие точкам пересечения этой прямой с кривой, должны удовлетворять системе

[pic]
Система эта приводит к уравнению

[pic] корни которого и будут искомыми значениями t1 , t2 и t3 параметра, откуда следует, что

[pic] (4)
Это равенство и является условием пребывания трех точек M1(t1 ), M2(t2), М3
(t3) декартова листа на одной прямой.
Располагая этим условием, покажем справедливость теоремы Маклорена для декартово листа. Действительно, касательную в точке M1 (t1) можно рассматривать как прямую, которая пересекает декартов лист в двух совпадающих между собой точках, для которых t2=t1, и в третьей точке, для которой соответствующее значение параметра обозначим через T1. Условие (4) примет вид t12 T1= -1. Для касательных в точках М2 и M3 получим аналогичные соотношения t22 T2 = -1 и t32 T3 = -1. Перемножая эти три равенства, будем иметь
(t1t2t3)2T1T2T3 = -1. откуда на основании (4) заключаем, что и T1T2T3 = -1, т. е. точки N1(T1), N2(T2) и N3(T3) лежат на одной прямой.
Определяя площадь, ограниченную петлей декартова листа, получим:

[pic]
3. Способ построения. Заметим предварительно, что если ось симметрии декартова листа принять за ось абсцисс, то уравнение его примет вид

[pic] (5)
Пусть теперь имеется окружность с радиусом r и центром в точке

[pic] и прямая х= -h. Возьмем произвольную точку Q этой окружности и проведем прямую QA и прямую QN, перпендикулярную к оси абсцисс (рис. 2). Из точки пересечения R прямой QA с прямой х= -h проводим прямую RO до пересечения ее в точке Q1 с прямой QN. Таким образом, точке Q на окружности будет поставлена в соответствие точка Q1. Геометрическое место точек Q1 представляет собой декартов лист.

[pic]

Рис 2.
Для доказательства заметим, что координаты точки Q можно записать в виде