Кривые третьего и четвертого порядка

| Категория реферата: Рефераты по математике
| Теги реферата: казахстан реферат, сочинение
| Добавил(а) на сайт: Бойдало.

[pic] (5) и пересекает циссоиду в точке М, координаты которой удовлетворяют уравнению
[pic]
Это уравнение можно рассматривать как уравнение прямой, проходящей через точку А (2а, 0) и отсекающей на оси ординат отрезок

[pic] (6)
Если теперь принять [pic] и на оси ординат отложить отрезок ОС == 2, соединить затем точку С с точкой А(1, 0), а точку пересечения прямой СА с циссоидой соединить с точкой О и продолжить полученный отрезок до пересечения с касательной, то, как это следует из формул (5) и (6), отрезок
AD и будет равен [pic]
Древние рассматривали только ту часть циссоиды, которая находится внутри производящего круга. Вместе с дугой окружности производящего круга эта часть образует фигуру, напоминающую лист плюща, откуда проистекает название кривой. Наличие бесконечных ветвей у циссоиды было установлено в 17 веке
Робервалем и независимо от него Слюзом. Кинематический способ образования циссоиды с помощью треугольника приписывается Ньютону, который выполнил также спрямление циссоиды не только аналитическим путем, но и графическим.

[pic]

Рис. 6

Кардиоида

1. Уравнение. Кардиоиду можно определить как траекторию точки, лежащей на окружности круга радиуса r, который катится по окружности неподвижного круга с таким же радиусом. Она будет представлять собой, таким образом, эпициклоиду с модулем m, равным 1.
Это обстоятельство позволяет сразу же записать параметрические уравнения кардиоиды, заменяя в ранее приведенных параметрических уравнениях эпициклоид модуль m единицей. Будем иметь:

[pic] (1)
Чтобы получить полярное уравнение кардиоиды, удобно принять за полюс точку
А (рис.7), а полярную ось направить по оси абсцисс. Так как четырехугольник
AOO1M будет равнобедренной трапецией, то полярный угол ( точки М окажется равным углу поворота производящего круга, т. е. параметру t. Учитывая это обстоятельство, заменим во втором уравнении системы (1) у через ( sin t.
Сокращая полученное таким образом равенство на sin t, получим полярное уравнение кардиоиды

[pic]

Рис. 7
По виду этого уравнения

[pic] можно заключить, что кардиоида является одной из улиток Паскаля. Она может быть определена, следовательно, как конхоида круга.
Переводя уравнение (2) в прямоугольную систему координат, получим:

[pic] (3)
Из этого уравнения следует, что кардиоида является алгебраической кривой 4- го порядка.
2. Свойства. Прежде всего, поскольку кардиоида является эпициклоидой с m=1, на нее можно перенести все свойства рассмотренных нами в предыдущем параграфе эпициклоид.
Вот эти свойства и характеристики.
1. Касательная в произвольной точке кардиоиды проходит через точку окружности производящего круга, диаметрально противоположную точке касания кругов, а нормаль — через точку их касания.
2. Угол (, составляемый касательной к кардиоиде с радиусом-вектором точки касания, равен половине угла, образуемого этим радиусом-вектором с полярной осью. Действительно[pic]
[pic]
Из этого соотношения непосредственно вытекает, что угол, составляемый касательной к кардиоиде с осью абсцисс, равняется [pic] (как внешний угол треугольника AMN Рис.8). Располагая формулой [pic] можно доказать, что касательные к кардиоиде, проведенные в концах хорды, проходящей через полюс, взаимно перпендикулярны.
Действительно, так как [pic]

[pic]

Рис. 8
Заметим еще, что геометрическое место точек пересечения этих касательных есть окружность [pic] Действительно, уравнение первой касательной на основании уравнений (1) кардиоиды, будет иметь вид [pic]
[pic] а второй касательной [pic] Исключая из этих уравнений параметр, получим уравнение указанной окружности.
3. Радиус кривизны в произвольной точке кардиоиды определится по формуле

[pic] (4)
Можно показать также, что радиус кривизны равняется 2/3 полярной нормали N в заданной точке.
Действительно, [pic] откуда на основании (4) получаем [pic] Соотношение это может быть использовано для построения центра кривизны кардиоиды.
4. Эволюта кардиоиды, согласно общему свойству эволют эпициклоид, будет также кардиоидой, подобной данной, с коэффициентом подобия, равным 1/3, и повернутой относительно данной на угол 180°.
5. Длина дуги кардиоиды от точки А до произвольной точки М определится по формуле

[pic] (5)
Если длину дуги отсчитывать от точки А1, диаметрально противоположной точке А, то формула для определения длины дуги может быть записана в виде

[pic] (6)
6. Натуральное уравнение кардиоиды получится, если из равенств (4) и (6) исключить параметр. Оно будет иметь вид

[pic] (7)
7. Площадь, ограниченная кардиоидой, определится по формуле

[pic] и, как видно, равна ушестеренной площади производящего круга.
Длина всей кардиоиды определится по формуле

[pic] и, как видно, равна восьми диаметрам производящего круга. Объем тела, полученного от вращения кардиоиды вокруг ее оси, равен [pic]
Поверхность тела, полученного от вращения кардиоиды вокруг ее оси, равняется [pic]
Мы видели, что кардиоида органически связана с окружностью. Она является конхоидой круга и эпициклоидой. Она имеет с окружностью и иной характер родства — кардиоида является подэрой окружности относительно точки, принадлежащей этой окружности.

[pic]

Рис.9
Действительно, пусть ОМ есть перпендикуляр, опущенный на касательную к окружности с радиусом, равным 2r, проведенную в точке N.
Так как ОМ = OB + ВМ, или ( == 2r cos ( + 2r, то геометрическим местом точек М будет кардиоида с уравнением ( = 2r (1 + cos ().
Заметим в заключение, что кардиоида относится также к семейству синусоидальных спиралей, и отдельные свойства ее повторяют общие свойства этих кривых. Из этих свойств следует, в частности, что инверсия кардиоиды, относительно точки возврата дает параболу.

Астроида

1. Свойства. Астроида, как и рассмотренная выше кривая Штейнера, является частным случаем гипоциклоид, а именно, гипоциклоидой с модулем m, равным
1/4. Она представляет собой, следовательно, траекторию точки, лежащей на окружности круга радиуса r, который катится по внутренней стороне другого, неподвижного круга, радиус R которого в четыре раза больше.
Параметрические уравнения астроиды можно получить, полагая в уравнениях гипоциклоиды, m=1/4. Вот эти уравнения:

[pic]

[pic]