2. Применим (1.5) к интегралам в (1.3), вычислим полученные равенства по формулам [3, (7.113), (8.108)] и, учитывая (1.1), получим в переменных (x,y):
3. Соотношения (1.4) в декартовых координатах принимают вид:
Из (1.6)-(1.7), используя индукцию по k, заключаем, что функции uk(x,y) и vk(x,y) - это гармонические полиномы степени k. 4. Полиномы uk(x,y) четны по y, а vk(x,y) нечетны. Кроме того, при всех k2 в угловых точках полиномы обращаются в нуль. 5. Последовательность {uk,vk}Ґk = 1 полна в W(S) и образует в нем базис. 2. Ортогонализация последовательности полиномов Последовательность {uk,vk}Ґk = 1 ортогонализуем в скалярном произведении:
g№0.
Для того чтобы эта задача была решена при помощи хорошо известного процесса
Грама-Шмидта, необходимо уметь вычислять скалярные произведения вида
где =j, j = 1,2. Следовательно, можно ортогонализовать полиномы uk и vk методом Грама-Шмидта в смысле скалярного произведения (2.1). Получившийся базис будем обозначать как {ek,fk}. 3. Канонический базис Для дальнейших результатов нам понадобится новый базис W(S), обладающий кроме ортогональности еще некоторыми дополнительными свойствами. Так как ортогональных базисов в гильбертовом пространстве W(S) существует бесконечно много, то любой из них можно получить из последовательности {ek,fk} унитарным преобразованием с матрицей перехода Т. Воспользуемся этим и трансформируем наш базис в базис {l}, ортогональный не только в W(S), но и в следующем скалярном произведении:
где KR(x0,y0) - шар с центром в (x0,y0) и радиуса R, равного расстоянию от центра до границы S. Базис с таким дополнительным свойством назовем каноническим в точке (x0,y0). Доказано (см.[4]), что базис в W(S), канонический в точке (x0,y0), существует. Вектор-столбец
|
, 
и 
. Если
воспользуемся формулой Грина, то значения этих скалярных произведений дают
следующие формулы: 
, 
бесконечной
высоты с координатами: 
, 
, 
, где 
, 
Главная