Квантовый эффект Холла в двумерных системах

Х. М. Биккин, А. В. Кузнецов

Введение

За последние десять с небольшим лет Нобелевская премия по физике дважды присуждалась за исследование квантового эффекта Холла. Первый раз это была премия, присужденная профессору Марбургского университета (Германия, Гессен) Клаусу фон Клитцингу в 1985 году за открытие квантового эффекта Холла, и второй раз премией были удостоены в 1998 году профессор Стенфордского университета Роберт Лафлин (за интерпретацию дробного квантового эффект Холлла), профессор Колумбийского университета Хорсту Штермеру и профессор Принстонского университета Даниель Цуи (за открытие и основополагающие работы по дробному квантовому эффекту Холла). Интересно отметить, что открытие квантового эффекта Холла и дробного квантового эффекта Холла состоялось почти одновременно и все основные результаты были опубликованы за весьма короткий период с 1980 по 1983 г, однако потребовалось еще несколько лет для признания всей важности квантового эффекта Холла и больше 15 лет для того, чтобы разобраться в физической сущности дробного квантового эффекта Холла.

Двумерный металл

Попробуем разобраться в сущности квантового эффекта Холла в двумерных системах. Для этого сначала поговорим о том, как можно изготовить двумерную металлическую пленку. Подходящим объектом была бы металлическая фольга толщиной несколько десятков ангстрем, однако совершенно неясно, как такой тонкий металлический образец можно изготовить. Тем не менее, двумерные металлические системы исследуются уже более 20 лет. Оказалось, что они достаточно легко воспроизводятся в полупроводниковом приборе, который называется полевым транзистором. На рисунке показано принципиальное устройство полевого транзистора.

Принципиальная схема устройства полевого транзистора

Иногда его называют также МОП-транзистором (транзистор со структурой металл-окисел-полупроводник). На кремниевую пластину, имеющую дырочную проводимость, наносится слой окисла SiO2 (поверхность окисляют). С двух сторон вжигаются электроды, которые называются истоком и стоком. Поверх окисла напыляется слой металла и приваривается электрод. Эта часть устройства называется затвором.

Если теперь на затвор подать положительный потенциал, то дырки, находящиеся в полупроводниковой пластине, будут уходить как можно дальше от затвора, а электроны, (которых мало в дырочном материале), будут наоборот подтягиваться к диэлектрическому слою, создавая между истоком и стоком проводящий электронный канал.

Этот канал и представляет собой двумерный металл. Концентрация электронов в двумерном слое определяется напряжением на затворе и практически не зависит от температуры. Это и позволяет говорить о двумерном металле, а не о двумерном полупроводнике, поскольку независимость концентрации электронов проводимости от температуры является характерным признаком металла.

Двумерный электронный газ в магнитном поле

Исследование полупроводников и Нобелевская премия по физике кажутся несовместимыми, поскольку обычно считается, что такая сложная система, какой является полупроводниковый транзистор, мало пригодна для фундаментальных открытий. До 1980 года никто и не ожидал, что в полупроводниках возможен такой эффект, который определяется исключительно фундаментальными константами и совершенно не зависит от температуры и способа изготовления образца.

Открытию квантового эффекта Холла предшествовало обнаружение другого интересного эффекта - исчезновения сопротивления двумерного металла в сильном магнитном поле.

Как известно, классический электрон в магнитном поле движется по круговой орбите, радиус r которой определяется из уравнения динамики Ньютона

простым соотношением r = mv/(eB), где m, e - масса и заряд электрона, v - его скорость, B - модуль вектора индукции магнитного поля.

Найдем еще циклическую частоту W = 2pn обращения электрона по круговой орбите в магнитном поле. В этой формуле n = 1/T - частота обращения электрона, а T = 2pr/v - период обращения электрона по круговой орбите. Если использовать формулу для радиуса орбиты электрона в магнитном поле, которую, мы получили выше, то получается замечательный результат: W = eB/m.

В классической механике энергия электрона в магнитном поле может быть любой и определяется только значением скорости v.

Рассмотрим теперь к каким результатам приводит квантово-механическое рассмотрение задачи о движении электрона в магнитном поле. Оказывается, в этом случае некоторые результаты классической механики остаются справедливыми, а некоторые существенно изменяются.

Хорошо известно, что вращательное движение в плоскости может быть получено суперпозицией двух колебаний, происходящих в двух взаимно перпендикулярных направлениях. По этой причине не кажется удивительным, что энергия электрона в сильном магнитном поле определяется выражением