Предыдущая страница реферата | 1  2  3  4  5  6  7  8 | Следующая страница реферата

r®0 r

r - расстояние между точками р и р1

S = рр1 = ÖDх2 +Dу2Ø

a является бесконечно малой, более высокого порядка, чем r

При ументшении Dх и Dу a®0 быстрее, чем r. Из определения следует, что полный дифференциал функции равен

z = ADx + BDy

При малых Dх и Dу имеет место равенство Dz » dz.

Опр. Если  функция  z=f(x,y) имеет полный дифференциал в точке р, то она называется дифференцируемой в этой точке.

Теорема. Необходимые условия дифференцируемости функции.

Если  функция  z=f(x,y) дифференцируема в точке р, то она имеет частные производные в этой точке и при этом выражение поного дифференциала  А = ¶z/¶x  B = ¶z/¶y, т.е. полный дифференциал может быть записак в виде:

dz = ¶z/¶x Dx + ¶z/¶y  Dy

Док-во: По определению дифференцируемости приращение функции может быть записано в виде:

Dz = ADx+BDy +a при любом Dх и Dу.

Рассмотрим 2 частных случая

1)Dх¹0 Dу = 0

При этом Dz=ADx+a   /Dx и перейдем к пределу. Полное приращение функций превращается в частное приращение.

Lim    Dxz/Dx  = Lim A+a/Dx

Dx®0                Dx®0

¶z/¶x= A+Lim(Dx®0)a/Dx =0 т.к. r=Dх

В результате получаем А=¶z/¶x

2)Dx=0 Dy¹0

При этом аналогичным образом получим, что В=¶z/¶y

Теорема доказана. Как следствие à полный дифференциал дифференцируемой функции определяется по формуле:

dz=¶z/¶x·Dx+¶z/¶y·Dy, если при этом учесть, сто приращение независимых переменных х и у равны их дифференциалам Dx=dx, Dy=dy, то окончательно получим:

dz=¶z/¶x·dx+¶z/¶y·dy

Рекомендуем скачать другие рефераты по теме: возрождение реферат, реферат рф.





Предыдущая страница реферата | 1  2  3  4  5  6  7  8 | Следующая страница реферата