Математический анализ

| Категория реферата: Рефераты по математике
| Теги реферата: ответ 4, решебник по русскому языку
| Добавил(а) на сайт: Ambrazhevich.

15. Доказательство формулы e=... yN=[pic]; zN=yN +[pic]
1) yN монотонно растет
2) yNn0 00. Тогда Lim f(x) в точке х0 существует когда cуществуют правый и левый предел f(x) в точке х0 и они равны между собой.
Необходимость: Пусть предел f(х) существует и равен А => "Е>0 $ d >0: -d f(х) попадает в интервал (f(х)-А,f(х)+А) => правый предел существует и он равен
А. Если х попадает в интервал (x0-d,0) => x попадает в интервал (x0-d,x0+d)
=> f(х) попадает в интер вал (f(х)-А,f(х)+А) => левый предел существует и он равен А.
Достаточность: Lim (х0±|h|) при h®0: Lim(х0+|h|) = Lim(х0-|h|)=А
"Е>0 $ d’ >0: 00: -d”1 при z>0, то aX aZ=(a1/N)M => a1/N>1 => (a1/N)M>1 => aX*(aZ-1)>1, (a>1 n>0)
5) при x®0 aX®1 (xОR)
Т.к. Lim a1/N=1 (n®Ґ), очевидно, что и Lim a-1/N=Lim1/a1/N=1 (n®Ґ). Поэтому
"Е>0 $n0: "n>n0 1-E aX * aY = aX+Y
2) aX / aY = aX-Y
3) (aX)Y=aX*Y xN®x, yK®y => (aXn)Yk = aXn*Yk => (n®Ґ) (aX)Yk=aX*Yk =>(k®Ґ) (aX)Y=aX*Y
4) x aX1) - монотонность. x xN aXn (n®Ґ) aXЈaX’- монотонна x-x`>q>0 => aX-X’ і aQ>1 => aX-X’№1 => aX0 $n0: "n>n0 1-E0 $k0: "n>n0 0k0 => nK>n0 => 0 (1+1/zK+1)Zk+1/(1+1/zK+1) < (1+xK)1/Xk < (1+1/zK)Zk*(1+1/zK) k®Ґ учитывая, что: (1+1/zK)®1 (1+1/zK+1)®1 => получаем: eЈLim (1+xK)1/XkЈe => Lim (1+xK)1/Xk=e => Lim (1+x)1/X=e при x®0+
Lim (1+xK)1/Xk при x®0-: yK=-xK®0+ => доказываем аналогично предыдущему => получаем Lim (1+x)1/X=e при x®0-
Видим что правый и левый пределы совпадают => Lim (1+x)1/X=e при x®0
2) n®Ґ lim (1+x/n)N = (lim (1+x/n)N/X)X = eX
3) x®xa aОR - непрерывна xa=(eLn x) a=ea*Ln x непр непр непр непр x®Ln x®a*Ln®a*Ln x => x®ea*Ln x
4) x®0 Lim (Ln (1+x))/x = Lim Ln (1+x)1/X = Ln e = 1
4’) x®0 Lim LogA(1+x)1/X = 1/Ln a
5) x®0 Lim (eX-1)/x = {eX-1=t} = Lim t/Ln(1+t) => (4) = 1/1 = 1
5’) x®0 Lim (aX-1)/x = Ln a
6) x®0 Lim ((1+x)a-1)/x = Lim ([e a*Ln (1+x) -1]/[a*Ln(1+x)]*[a*Ln (1+x)]/x
= 1*a*1= a

34.Теорема Вейрштрасса об ограниченности непрерывной функции на отрезке.
Функция х®f(x) называется непрерывной на множестве Х если она непрерывна в каждой точке х этого множества.
Теорема: Функция непрерывная на отрезке [a,b], является ограниченной на этом отрезке (1 теорема Вейрштрасса) и имеет на нем наибольшее и наимень шее значение (2 теорема Вейрштрасса).
Доказательство: Пусть m=Sup{f(x):xО[a,b]}. Если f не ограничена сверху на
[a,b], то m=Ґ, иначе mОR. Выберем произвольную возрастающую посл-ть (сN), такую что Lim cN=m. Т.к. "nОN: cN aО[a,b].
Для mОR - по теореме о том, что предел произвольной подпосл-ти равен пределу посл-ти получаем cKn®m.
Для m=+Ґ - по Лемме о том что всякая подпосл-ть бб посл-ти явл-ся бб посл- тью получаем cKn®m. Переходя к пределу в нер-вах cKn f(a)=m - что и означает что функция f ограничена сверху и достигает верхней граница в точке a. Существование точки b=Inf{f(x):xО[a,b]} доказывается аналогично.

35. Равномерная непрерывность. Ее характеризация в терминах колебаний.
Определение: "Е>0 $ d>0: "х’,х”: |х’-х”| |f(x’)-f(x”)| функция называется равномерно непрерывной
Отличие от непрерывности состоит в том, что там d зависит от Е и от х”, то здесь d не зависит от х”.
Определение: Ф-ция f - не равномерно непрерывна, если $ Е>0 "d >0: $ х’,х”:
|х’-х”| |f(x’)-f(x”)|іЕ>0
Рассмотрим множество {|f(x’)-f(x”)|:|x’-x”|0 $ d>0: Wf(d)ЈЕ Lim Wf(d)=0 d®0

36.Теорема Кантора о равномерной непрерывности непрерывной функции на отрезке.
Теорема: Если f непрерывна на [a,b], то она равномерно непрерывна на [a,b].
Доказательство(от противного):
Пусть f не равномерно непрерывна на [a,b]=>$Е>0 "d>0 $х’,х”: |х’- х”||f(x’)-f(x”)|іЕ. Возьмем d =1/к, кОN $хK, х’KО[a,b]: |хK-х’K| из нее по теореме Больцано-Вейерштрасса можно выделить подпосл-ть xKs сходящуюся к х0. Получаем: |хKs-х’Ks| x = Lim x0)
Определение: Производным значением функции f в точке х0 называется число f’(х0)=Lim (f(x0+Dх)-f(x0))/ Dх x®x0, если этот предел существует.
Геометрически f’(х0) - это наклон невертикальной касательной в точке
(x0,f(x0)). Уравнение касательной y=f’(x0)*(x-x0)+f(x0). Если Lim (f(x0+Dх)- f(x0))/Dх=Ґ Dх®0, то пишут f`(x0)=Ґ касательная в этом случае вертикальна и задается уравнением х=x0. f`(x0)=lim(f(x0+Dх)-f(x0))/Dх x®x0=>(f(x0+Dх)- f(x0))/Dх=f’(x0)+a(x), a(x)®0 при x®x0. f(x0+Dх)-f(x0)=f`(x0)*Dх+a(x)*Dх учитывая, что x0+Dх=x и обозначая a(x)*Dх через o(x-x0) получим f(x)=f’(x0)*(x-x0)+f(x0)+o(x-x0). Необхо димо заметить, что o(x-x0) уменьшается быстрее чем (x-x0) при x®x0 (т.к. o(x-x0)/(x-x0)®0 при x®x0)
Определение: Ф-ция f называется дифференцируемой в точке x0 если $сОR: в некоторой окрестности точки x0 f(x)=С(x-x0)+f(x0)+o(x-x0)
Теорема: Функция диффференцируема в точке x0 $ f’(x0)
Доказательство: f`(x0)=C
=>: f(x)=C(x-x0)+f(x0)+o(x-x0) => (f(x)-f(x0))/(x-x0)=C+o(x-x0)/(x- x0)=C+a(x), a(x)®0 при x®x0.
Переходим к пределу при x®x0 => Lim (f(x)-f(x0))/(x-x0)=C+0=C => Слева записано производное значение ф-ции f => по определению C=f`(x0)
Определение: Если функция х®f(x) дифференцируема в точке x0, то линейная функция Dх®f’(x0)*Dх называется дифференциалом функции f в точке x0 и обозначается df(x0). (диф-ал ф-ции х®х обозначают dx). Т.о. df(x0):Dх®f`(x0)*Dх и dх:Dх®Dх. Отсюда df(x0)=f’(x0)*dх => df(x0)/dх:
Dх®f`(x0)*Dх/Dх=f’(x0) при Dх№0. В силу этого пишут также f’(x0)=df(x0)/dх
- обозначение Лейбница. График диф-ла получается из графика касательной переносом начала коор динат в точку касания.
Теорема: Если ф-ция f диф-ма в точке x0, то f непрерывна в точке x0.
Докозательство: f(x)=f(x0)+f’(x0)*(x-x0)+o(x-x0)®f(x0) при x®x0 => f непрерывна в точке x0.
Определение: Нормаль к ф-ции f в точке x0: это прямая перпендикулярная касательной к ф-ции f в точке x0. Учитывая что тангенс угла наклона нормали равен tg(90+угол наклона касательной)= -Ctg(наклона касательной), получаем уравнение нормали: y=-1/f’(x0)*(x-x0)+f(x0)

38. Арифметика диф-цирования. Производные тригонометрических функций.
Теорема: Пусть ф-ции f и g дифференцируемы в точке x0, тогда ф-ции f+g, f*g и f/g (при g(x0)№0) дифференцируемы в точке x0 и:
1) (f+g)’(x0)=f’(x0)+g’(x0)
2) (f*g)’(x0)=f’(x0)*g(x0)+f(x0)*g’(x0)
3) (f/g)’(x0)=(f’(x0)*g(x0)-f(x0)*g’(x0))/g(x0)2
Доказательство:
1) Df(x0)=f(x0+Dx)-f(x0)

Dg(x0)=g(x0+Dx)-g(x0)

D(f+g)(x0)=Df(x0)+Dg(x0)=f(x0+Dx)-f(x0)+g(x0+Dx)-g(x0)

D(f+g)(x0)/Dx=(f(x0+Dx)-f(x0)+g(x0+Dx)-g(x0))/Dx=(f(x0+Dx)- f(x0))/Dx+(g(x0+Dx)-g(x0))/Dx®f’(x0)+g’(x0) при Dx®0
2) D(f*g)(x0)=f(x0+Dx)*g(x0+Dx)-f(x0)*g(x0)=(f(x0)+Df(x0))*(g(x0)+D(x0))- f(x0)*g(x0)=g(x0)*Df(x0)+f(x0)*Dg(x0)+Df(x0)*Dg(x0)
D(f*g)(x0)/Dx=g(x0)*(Df(x0)/Dx)+f(x0)*(Dg(x0)/Dx)+(Df(x0)/Dx)*(Dg(x0)/Dx)*Dx
®f’(x0)*g(x0)+f(x0)*g’(x0) при Dx®0
3) Ф-ция g - дифференцируема в точке x0 => Ф-ция g - непрерывна в точке x0
=> "Е>0 (Е=|g(x0)|/2) $d>0: |Dx|< d => |g(x0+Dx)-g(x0)| g’(уO)=1/f’(xO)
Производные:
1) x®Arcsin x по теореме имеем Arcsin’x=1/Sin’y, где Sin y=x при условии, что Sin’y dy=y’(t)dt=у’(х)*х’(t)*dt=у’(x)dх - видим что при переходе к новой независимой переменной форма дифференциала может быть сохранена - это свойство называют инвариантностью формы первого дифференциала.

Пусть функции у=f(х) и х=g(t) таковы, что из них можно составить сложную функцию у=f(g(t)) Если существуют производные у’(х) и х’(t) то существует производная у’(t)=у’(х)*х’(t) и по доказанному ее первый диф-ал по t можно написать в форме dy=y’(х)dх, где dх=x’(t)dt. Вычисляем второй диф-ал по t: d2y=d(y’(x)dx)=dy’(x)dx+y’(x)d(dx). Снова пользуясь инвариантностью первого диф-ла dy’(x)=у”(х2)dx => d2y=у”(х2)dx2x+y’(x)*d2x, в то время как при независимой переменной х второй диф-ал имел вид д2y=у’(х2)*dx2x => неинвариантность формы второго диф-ла.
Формула Лейбница: f(x)=u(x)*v(x) [pic]
Доказательство по индукции.
1) n=0 верно
2) Предположим для n - верно => докажем для (n+1)
Если для u и v $(n+1) производные, то можно еще раз продифференцировать по х - получим:
[pic]
Объединим теперь слагаемые обеих последних сумм, содержащие одинаковые произведения производных функций u и v (сумма порядков производ ных в таком произведении, как легко видеть, равна всегда (n+1)). Произведение u0*vN+1 входит только во вторую сумму с коэффициентом С0N=1. Произведение uN+1*v0 входит только в первую сумму с коэффициентом СNN=1. Все остальные произведения входящие в эти суммы имеют вид uK*vN+1-K. Каждое такое произведение встречается в первой сумме с номером k = i-1, а во второй i=k.
Сумма соотв. коэффициентов будет [pic]=> получаем fN+1(x)=u0*vN+1+[pic]+ uN+1*v0=[pic]

44. Нахождение промежутков постоянства монотонности функции и ее экстремумов.
Теорема: Пусть f(x) непрерывна в замкнутом промежутке [a;b] и диф-ма в открытом промежутке (a;b), если f’(x)=0 в (a;b), то f(x)-const в [a;b].
Докозательство:
Пусть xЈb, тогда в замкнутом промежутке в [a;x] по теореме Лагранжа имеем: f(x)-f(a)=f’(a+q(x-a))(x-a) 0 f(x)=f(a)=Const для все хО(a;b).
Теорема: Пусть f(x) непрерывна в замкнутом промежутке [a;b] и диф-ма в открытом промежутке (a;b), тогда:
1) f монотонно возрастает(убывает) в нестрогом смысле в (a;b) f’(x)і0(f’(x)Ј0) в (a;b).
2) Если f’(x)>0(f’(x) f’(c)і0(f’(c)Ј 0) => f(x”)іf(x’)( f(x”)Јf(x’)) => f(x) возрастает(убывает) в нестрогом смысле в (a;b).
2) Используя аналогичные (1) рассуждения, но заменяя неравенства на строгие получим (2).
Следствие: Если xO-критическая точка непрерывной ф-ции f. f’(x) в достаточно малой d-окр-ти точки xO имеет разные знаки, то xO-экстремальная точка.
Достаточное условие экстремума: (+)®xO®(-) => локальный min, (-)®xO®(+) => локальный max

46. Выпуклые множества Rn. Условие Иенсена. Выпуклые функции.Неравенство
Йенсена.
Определение: Множество М выпукло если " А,ВОМ [А,В]ММ
[А,В]ММ => [А,В]={А+t(В-А):tО[0,1]} => А(1-t)+tВОМ
[А,В]ММ => А,ВОМ; l1=1-t, l2=t => l1+l2=1 l1,l2і0 => l1А+l2ВОМ
Рассмотрим точки: А1,А2,...АNОМ l1,l2і0 S(i=1,n): lI = 1
Докажем что S(i=1,n): lI*АI ОМ
Д-во: По индукции:
1) n=1, n=2 - верно
2) Пусть для (n-1) - верно => докажем для n: а) lN=1 => приравниваем l1=...=l N-1=0 => верно б) lN(1-l N)*B + l N*А N
ОМ Ч.т.д
График Гf = {(x,f(x)):хОDf}, Надграфик UPf={(x,y):y>f(x)}
Определение: Функция f выпукла UPf - множество выпукло.
Условие Йенсена: АIОМ lIі0 S(i=1,n): lI =1 => S(i=1,n): lI*АI ОМ, xIі0, f(xI)ЈyI => S(i=1,n): lI*АI = (SlI*xI;SlI*yI) => f(SlI*xI)ЈSlI*yI
Неравенство Йенсена: АIОМ lIі0 SlI =1f(SlI*xI)ЈSlI*f(xI)

47.Критерий выпуклости дифференцируемой функции.
Теорема: Пусть f определена в интервале (a;b), тогда следующие условия эквивалентны: 1) f - выпукла в (a;b) ~ 2) "x’,xO,x”О(a;b) x’” AB: k=(y-f(x’))/(xO-x’)і(f(xO)-f(x’))/(xO-x’) => yіf(xO); AB: k=(f(x”)- y)/(x”-xO)Ј(f(x”)-f(xO))/(x”-xO) =>yЈf(xO)

(f(xO)-f(x’))/(xO-x’)Ј(f(x”)-f(xO))/(x”-xO)
“