Математическое моделирование в экономике

| Категория реферата: Рефераты по математике
| Теги реферата: тесты с ответами, бесплатные рефераты скачать
| Добавил(а) на сайт: Барболин.

Сущность задачи операционных исследований состоит в нахождении наиболее целесообразных, оптимальных решений. Поэтому задачи операционных исследований обычно называются оптимизационными.

Для разработки наиболее важных задач в операционных исследованиях широко используются математические модели, построенные на статистической или вероятностной (стохастической) основе. Они помогают учесть даже такие факторы, просчитать точное изменение которых практически невозможно.

Особенно часто применяются математические модели очередей и управления запасами.

Теория очередей опирается на разработанную учеными А.Н. Колмогоровым и А.Л. Ханчиным теорию массового обслуживания.

Теория массового обслуживания.

Данная теория позволяет изучать системы, предназначенные для обслуживания массового потока требований случайного характера. Случайными могут быть как моменты появления требований, так и затраты времени на их обслуживание.
Целью методов теории является отыскание разумной организации обслуживания, обеспечивающей заданное его качество, определение оптимальных (с точки зрения принятого критерия) норм дежурного обслуживания, надобность в котором возникает непланомерно, нерегулярно.

С использованием метода математического моделирования можно определить, например, оптимальное количество автоматически действующих машин, которое может обслуживаться одним рабочим или бригадой рабочих и т.п.

Типичным примером объектов теории массового обслуживания могут служить автоматические телефонные станции (АТС). На АТС случайным образом поступают “требования” - вызовы абонентов, а “обслуживание” состоит в соединении абонентов с другими абонентами, поддержание связи во время разговора и т.д. Задачи теории, сформулированные математически, обычно сводятся к изучению специального типа случайных процессов.

Исходя их данных вероятностных характеристик поступающего потока вызовов и продолжительности обслуживания и учитывая схему системы обслуживания, теория определяет соответствующие характеристики качества обслуживания (вероятность отказа, среднее время ожидания начала обслуживания т.п.).

Предположим, что автоматическая линия связи имеет [pic] одинаково доступных для абонентов каналов. Вызовы поступают в случайные моменты времени. Если при поступлении очередного вызова все [pic] каналов лини связи оказываются занятыми, то поступивший вызов получает отказ и теряется.
В противном случае немедленно начинается разговор по одному из свободных каналов, длящийся случайное время.

Одной из характеристик эффективности работы такой линии связи является доля вызовов, получающих отказ, т.е. предел [pic]при[pic][pic]
(если он существует) отношения [pic] числа [pic] вызовов, потерянных в течение времени [pic], к общему числу [pic] вызовов, поступивших за это время. Этот предел можно назвать вероятностью отказа.

Другим показателем качества работы линии связи может служить отношение времени ее занятости, т.е. предел [pic] при [pic] (если он существует) отношения
?? / [pic], где ?? - суммарное время, в течение которого за период [pic] все [pic] каналов линии связи одновременно заняты. Этот предел можно назвать вероятностью занятости.

Обозначим [pic] число каналов, занятых в момент [pic]. Тогда можно показать, что: если , во-первых, моменты поступления вызовов образуют пуассоновский поток однородных событий, во-вторых, длительности разговоров последовательных абонентов суть независимые (между собой и от моментов поступления вызовов) одинаково распределенные случайные величины, то случайный процесс [pic] , обладает эргодичным распределением, т.е. существуют [независящие от начального распределения [pic] ] пределы

[pic][pic] причем

[pic][pic] (*) где [pic] - произведение интенсивности потока поступлений вызовов на среднюю длительность разговора отдельного абонента.

Кроме того, в этом случае [pic], и их общее значение равно [pic].

Формулы (*), называемые формулами Эрланга, используются для расчета минимального количества каналов линии связи, обеспечивающей заданную вероятность отказа. При отказе от условия, что моменты поступления вызовов образуют пуассоновский поток однородных событий, равенство [pic]не может выполняться.

Математическими моделями многочисленных задач технико-экономического содержания являются также задачи линейного программирования. Линейное программирование - это дисциплина, посвященная теории и методам решения задач об экстремумах линейных функций на множествах, задаваемых системами линейных равенств и неравенств.

Рассмотрим в качестве примера следующую задачу.

Задача планирования работы предприятия.

Для производства однородных изделий необходимо затратить различные производственные факторы - сырье , рабочую силу, станочный парк, топливо, транспорт и т.д. Обычно имеется несколько отработанных технологических способов производства, причем в этих способах затраты производственных факторов в единицу времени для выпуска изделий различны.

Количество израсходованных производственных факторов и количество изготовляемых изделий зависит от того, сколько времени предприятие будет работать по тому или иному технологическому способу.

Ставиться задача рационального распределения времени работы предприятия по различным технологическим способам, т.е. такого, при котором будет произведено максимальное количество изделий при заданных ограниченных затратах каждого производственного фактора.

Формализуем задачу: Пусть имеется [pic] количество технологических способов производства изделий и [pic] производственных факторов.

Введем обозначения:
[pic] - количество изделий, выпускаемых в единицу времени при работе по j - му технологическому способу;
[pic] - расход i - го производственного фактора в единицу времени при работе по j - му технологическому способу;
[pic] - имеющиеся ресурсы i - го производственного фактора;
[pic] - планируемое время работы по j - му технологическому способу.