Предыдущая страница реферата | 1  2  3  4  5  6 | Следующая страница реферата

Но следы этой неадекватности легко обнаружить и на гораздо более элементарном (а потому и гораздо более фундаментальном) уровне.

3. Язык математики как "аминокислотный код"

Из сказанного выше напрашивается вывод, что более или менее адекватное описание совершающихся в Мире (и возможных в нем) преобразований, означающих изменение состояний выделенных для рассмотрения "элементов", предполагает введение каких-то "структур" (в смысле Бурбаки), описывающих воздействие остального мира на рассматриваемый элемент. На нашем символическом "аминокислотном" языке такие структуры выступают в роли операторов, воздействие которых и заставляет элемент изменить свое состояние. А все, что происходит в Мире, остающемся в каком-то смысле равным самому себе, и сводится, по-видимому, к изменению состояний его элементов!

Следовательно, чтобы эпистемология была изоморфна онтологии в арсенале математики, в ее концептуальном базисе, в числе ее первичных объектов, или "структур", должны присутствовать "состояния" и "преобразования"; первые на символическом математическом языке выступают в качестве операндов, вторые - в качестве "операторов", воздействие которых на операнды превращает их в другие операнды той же природы, но находящиеся в иной "фазе", отражая изменение "состояния" выделенного элемента системы.

Язык математики, а, стало быть, и теоретической физики, должен быть, таким образом (от этого не уйти!), языком операторов.

Между тем, хотя уже в первой трети нашего века физика в лице квантовой механики пробилась к уяснению этой истины, традиционному аппарату нашей математики в его принципиальных основах (не в надстройках!), как ни странно, чуждо понятие оператора!

Укажем здесь, хотя бы только на то, что в аппарате нашей традиционной математики отсутствуют естественные операторы для описания даже таких элементарных преобразований, как поворот вектора в трехмерном пространстве вокруг перпендикулярной к нему оси! Это элементарное преобразование, ибо все, что может происходить с вектором, сводится к его растяжению (сжатию) и повороту - ни изгибаться, ни "закручиваться", ни завязываться узлом вектор "не умеет"! Между тем для описания такого элементарного акта традиционная математика пользуется громоздкими искусственными конструкциями, содержащими (нелинейные и неаддитивные!) тригонометрические функции (с которыми "Природа" едва ли может иметь дело!).

Зато, вместо естественного понятия оператора, в первичном арсенале математических средств присутствует нелепое (как будет показано ниже) понятие "умножения" (в том числе два разных умножения для векторов), обладающее в общем случае скверным, неприятным (а, попросту говоря, противоестественным!) свойством неассоциативности.

Между тем, преобразования и их естественные математические ("аминокислотные") представители - операторы - по самой своей природе, разумеется, должны быть ассоциативны - применение двух последовательных преобразований равнозначно применению преобразованного преобразования или преобразования к уже преобразованному объекту!

Неассоциативность "скалярного" и "векторного" умножений векторов приводит к неисчислимым бедствиям для всей математики (и физики): тут и незамкнутость векторной "алгебры", и катастрофическая вырожденность пестрящих "нулями" таблиц умножения для векторов, и странная аннигиляция векторов при умножении, и запрещение деления на векторы, приводящее к чудовищной необратимости элементарных операций над векторами, и многое другое.

Но главное, пожалуй, в том, что понятия "умножения" и "произведения" сущностей вообще никоим образом не адекватны и не изоморфны структуре Мира! По существу, понятию "произведения" в Мире ничего не соответствует. Это чисто "птолемеевская" конструкция, некая искаженная, извращенная тень тех процессов взаимодействия, которые оно призвано отражать и описывать.

Операция "умножения" имеет какой-то (условный!) смысл по отношению к операторам, где она означает просто последовательное их применение. Но что может, например, означать "яблоко, умноженное на яблоко"? Можно возразить, что яблоко не является "математическим объектом". Хорошо. Тогда, что такое шар, умноженный на шар ("произведение двух шаров"), или круг на круг, или треугольник на треугольник, или кривая на кривую, или угол на угол и т.д. Можно снова возразить, что это, мол, чисто геометрические объекты, а для них понятие умножения не имеет смысла. Но тогда должно быть бессмысленным и умножение "направленного отрезка" на "направленный отрезок" (а их целых два, что уже само по себе подозрительно)!

На подобные недоуменные вопросы математики "классической" школы обычно отвечают, что понятие "произведения" математических объектов является свободной конструкцией ума и в значительной (если не в полной) мере зависит от нашего произвола. Мы вольны определить (дефинировать) "произведение" как то-то и то-то, и выбор наш диктуется лишь тем, насколько получаемые "структуры" будут непротиворечивы, удобны для нас, полезны, осмысленны, продуктивны и т.д. Вообще же говоря, такой выбор произволен.

Этим на первый взгляд снимается возникшее затруднение. Однако взамен возникает гораздо более серьезная трудность: почему же такие "свободные порождения ума" оказываются вообще применимыми к внешнему миру, к "физической реальности", которая ведь вовсе не обязана сообразовываться с нашими умственными изобретениями?

Этот вопрос чрезвычайно волновал, среди прочих, и Эйнштейна. Еще в 1920 г. он писал: "В связи с этим возникает вопрос, который волновал исследователей всех времен. Почему возможно такое превосходное соответствие математики с реальными предметами, если сама она является произведением только человеческой мысли, не связанной ни с каким опытом? Может ли человеческий разум без всякого опыта, путем только одного размышления понять свойства реальных, вещей?" ([23], т. 2, с. 83).

И действительно, на деле обнаруживается, что якобы "свободный" выбор наш существенно ограничен: в одних случаях понятие "произведения" загадочным образом оказывается плодотворным и осмысленным, а в других - совершенно бесплодным и лишенным смысла.

Почему же в одних случаях "умножение" имеет смысл, а в других, даже ценой больших усилий, ему такого смысла придать не удается? Чем различаются между собой эти "случаи"?

Проанализировав этот вопрос применительно к другим объектам, помимо векторов, мы неизбежно придем к выводу, что операция "умножения" и понятие "произведения" имеют смысл лишь по отношению к таким объектам ("структурам"), которые могут быть интерпретированы как операторы.

Очевидными примерами являются действительные и комплексные числа, матрицы, тензоры (при правильной записи) и т.п. структуры. Что же касается векторов в их традиционном представлении, то они этому условию не удовлетворяют. И действительно, оба придуманные для них "умножения" оказываются совершенно бессмысленными при сопоставлении с "реальностью". В самом деле, если математическому "вектору" в "физическом" мире соответствует, скажем, некая сила (мы со школьных лет знаем, что "сила есть вектор"), то какие процессы в мире соответствуют "скалярному" умножению двух одинаково направленных сил, при котором обе они "растворяются", превращаясь в "число"? И какие процессы соответствуют умножению двух взаимно перпендикулярных сил, при котором они вообще "аннигилируют"? А какие процессы в мире заставляют испариться две коллинеарные силы в соответствии с их векторным "умножением"?

Таким образом, оказывается, что, хотя математические векторы имеют "референтов" в физическом мире, математические операции их "умножения", конструкты скалярного и векторного "произведений", не имеют "референтов" в мире.

Конечно, можно возразить, что само понятие "вектора" определяется совокупностью его свойств, включая упомянутые "произведения". Но тогда получается, что сам "вектор" не имеет "референта" в Мире, и обнаруживается полный разрыв между математикой и физикой!

Таким образом, понятие "умножения" приобретает смысл лишь тогда, когда мы имеем дело с операциями, которые могут быть истолкованы как воздействие неких операторов. А такие операции должны во что бы то ни стало быть ассоциативными!

В нашем "Мире" за все приходится платить! За сохранение ассоциативности нам придется уплатить появлением - в ограниченной области - делителей нуля, - недостаток, которого, вообще говоря, алгебраисты стараются всеми силами избежать (любимые их детища - "алгебры без делителей нуля", пусть и не ассоциативные!).

Однако именно этот "недостаток" на деле оборачивается величайшим преимуществом, давая ключ к раскрытию наиболее захватывающих тайн теории относительности и квантовой механики (а, надо полагать, и квантовой теории поля)!

Сформулируем еще раз вкратце основные наши "опорные гипотезы":

Рекомендуем скачать другие рефераты по теме: решебники 10, найти реферат.





Предыдущая страница реферата | 1  2  3  4  5  6 | Следующая страница реферата