Предыдущая страница реферата | 1  2  3  4  5  6 | Следующая страница реферата

1. Мир мыслится как некая система, наделенная структурой и, стало быть, подчиняющаяся налагаемым этой структурой ограничениям. В Мире не все возможно, но все, что возможно, где-нибудь и когда-нибудь происходит.

2. Все, что происходит (и может происходить!) в Мире сводится к изменениям состояния его выделенных для рассмотрения элементов, фрагментов или подсистем - к преобразованиям, совместимым с наложенными ограничениями.

3. По отношению к возможным и реализуемым преобразованиям Мир обладает свойством замкнутости и полноты: в "естественном" мире нет места для "сверхъестественных" явлений.

4. В соответствии со сказанным, адекватное описание Мира предполагает введение "структур", отражающих состояния и их преобразования, что на символическом математическом языке выражается как воздействие операторов на операнды. По отношению к таким операциям Мир должен быть алгебраически замкнутым.

5. В силу естественной ассоциативности преобразований, тем же свойством ассоциативности безусловно должны обладать и используемые в математике "истинные" операторы. Лишь при этом условии "структура описания" оказывается изоморфной "структуре Мира".

6. Операция "умножения" и понятие "произведения", строго говоря, не имеют смысла, так как им в Мире ничего не соответствует. Но формально ими можно пользоваться, если они могут быть интерпретированы как воздействие операторов, а для этого они неизбежно должны обладать свойством ассоциативности.

7. Таким образом, для построения системы "истинной" математики открываются в принципе два равноправных пути: выявление элементарных операторов и требование ассоциативности всех используемых операций "умножения" (оба пути приводят к одним и тем же результатам).

8. От структур, получающихся при адекватном описании реальности, можно ожидать высокой степени простоты и симметрии, удовлетворяющих нашему эстетическому чувству, что дает мощный эвристический критерий для суждения об их истинности.

В XX веке в математике воцарилось почти безраздельное господство мощного и плодотворного аксиоматического метода, в немалой степени обязанного своей победой подкупающему стилю мышления и блестящим результатам Давида Гильберта. Успехи аксиоматического метода в упорядочении математического знания и обеспечении логической неуязвимости результатов несомненны. Однако благодаря этому мы часто подпадаем под власть завораживающей магии "положительного знания" и, пораженные своеобразной "куриной слепотой", перестаем видеть очевидные противоречия и несуразности, присущие (при всей ее внутренней непротиворечивости!) самой системе аксиом при ее сопоставлении с реальностью. Это, конечно, тесным образом связано с принципиальным убеждением о независимости математики от реального мира в духе цитированного выше утверждения Георга Кантора.

Автору претит такой волюнтаристский подход. В отличие от широко распространенного мнения, что можно "постулировать что угодно", лишь бы система введенных аксиом была непротиворечивой, а вытекающие из нее (автоматически непротиворечивые) следствия были осмысленны и продуктивны, автор полагает, что для самих вводимых аксиом должны существовать достаточные основания. Если уж поклоняться каким-то богам, то, пожалуй, такого поклонения достоин именно великий лейбницевский ПРИНЦИП ДОСТАТОЧНОГО ОСНОВАНИЯ. А "достаточные основания" мы, по-видимому, можем черпать только из реальности (из чего еще? Что выше математики?).

В связи с этим еще раз коснемся тонкого вопроса о гносеологической природе фундаментальных конструктов "суммы" и "произведения" математических объектов. Приходится лишь удивляться, что от внимания исследователей совершенно ускользнуло принципиальное различие этих понятий.

Концепция "суммы" опирается на возможность сосуществования дискретных объектов в нашей концептуальной картине мира. Если в нашем концептуальном поле "высвечивается" некий объект а (что инициируется характерным заклинанием математика: "Пусть имеется!") и одновременно (или вслед затем) "высвечивается" объект b, то с этого момента в нашем актуальном сознании имеются одновременно объекты а и b. Их одновременное, или совместное, присутствие в нем и охватывается понятием суммы: если имеется а и имеется b, то имеется их одновременное присутствие а + b. При этом, ввиду симметричности отношения одновременного присутствия, сумма, разумеется, всегда коммутативна: одновременное присутствие а и b есть то же, что одновременное присутствие b и а, т.е. а + b = b + а, "от перестановки слагаемых сумма не меняется". Другой характерной особенностью суммы является то, что в ней сохраняется присутствие каждого из объектов: они не исчезают, а продолжают "иметься" и в "сумме", которая как раз и означает их одновременное присутствие. Наконец, характерной особенностью суммы является и то, что сумма есть единственное возможное сочетание имеющихся (и продолжающих иметься) объектов: в смысле дихотомии "имеется" - "не имеется" ничего более (и ничего менее) совместного присутствия присутствующих объектов быть не может!

Совершенно иначе обстоит дело при образовании мифического "произведения" двух объектов, скажем, тех же, а и b, которые вроде бы имеются, но в то же время как бы растворяются и исчезают, перестают иметься, уступая место чему-то третьему (условно называемому их "произведением"). Но из имеющихся объектов ничего кроме их суммы образоваться не может! При образовании "произведения" ситуация на самом деле такова, что имелось нечто (скажем, а), а затем стало иметься нечто другое (скажем, с), что означает преобразование а в с под воздействием некого связанного с b оператора b: bа = с. Таким образом, концепция "произведения" на самом деле опирается на возможность преобразований, т.е. изменений состояния, объектов в мире и его концептуальном отражении. Аналогично, если имелось b, которое подверглось преобразованию с помощью связанного с а оператора a', возникает a'b = с'. Но ниоткуда не следует, что обязательно должно быть с' = с. Напротив, в общем случае как раз a'bbа: здесь разные операторы применяются к разным операндам, и именно поэтому операция "умножения", в отличие от операции "сложения", в общем случае некоммутативна. Именно и только по этой причине!

Итак, коренное различие двух классических "бинарных операций" - сложения и умножения - и соответствующих им понятий "суммы" и "произведения" сводится к следующему:

а) "Сумма" означает одновременное присутствие объектов в концептуальном поле и поэтому, будучи симметричной относительно слагаемых", всегда коммутативна, тогда как "произведение" может быть понято лишь как результат преобразования одного объекта под воздействием другого и поэтому, будучи несимметричным относительно "сомножителей", в общем случае некоммутативно.

б) "Сумма" является единственным образованием, соответствующим одновременному присутствию имеющихся (и продолжающих иметься) объектов; любое сочетание имеющихся объектов, отличное от их суммы нонсенс (разве, что они верхом друг на дружке сидят. Но и тогда в смысле присутствия ничего, кроме суммы не получается!). Именно поэтому "произведение" приобретает смысл лишь как результат преобразования, при котором первоначально имевшийся объект перестает "иметься" и начинает "иметься" другой объект.

в) В соответствии с этим, в "сумме" слагаемые не исчезают, а продолжают присутствовать, в то время как в произведении в общем случае не остается никаких следов первоначальных "сомножителей" - их уже нет (ср. "произведения" векторов или матриц).

г) Ввиду предыдущего, операция "сложения" всегда обратима, в то время как операция "умножения" в общем случае необратима: в традиционных формализмах операция "деления" часто оказывается существенно неоднозначной и поэтому запрещенной (ср. отсутствие обратных операций для скалярного и векторного "умножений" векторов).

д) Будучи отношением одновременного присутствия, "сумма", разумеется, всегда ассоциативна. "Произведения" же в традиционных системах аксиом зачастую странным образом оказываются неассоциативными (оба "произведения" векторов!), хотя лежащие в их основе преобразования по самой своей природе ассоциативны (и, в принципе, обратимы), что вскрывает принципиальную неадекватность классической концепции "произведения" и соответствующей аксиоматики.

Список литературы

1. К. Маркс, Ф. Энгельс, Сочинения, т. 20, с. 581.

2. Д. Гильберт, Основания геометрии, Добавление VIII: "О бесконечности", Гостехиздат, Москва - Ленинград (1948).

3. Н. Бурбаки, Очерки по истории математики, ИЛ, Москва (1963).

4. С. Hermite, T. Stieltjes, Correspondance, Vol. 2, Paris (1905), p. 398; цит. по [5], с. 29.

5. G. Cantor, Gesammelte Abhandlungen, Berlin (1932), p. 182;цит. по [5], c. 32.

6. E. Вигнер, Этюды о симметрии, Мир, Москва (1971).

Рекомендуем скачать другие рефераты по теме: решебники 10, найти реферат.





Предыдущая страница реферата | 1  2  3  4  5  6 | Следующая страница реферата