Предыдущая страница реферата | 1  2  3  4  5  6  7  8  9  10  11 | Следующая страница реферата

(метода секущих Ньютона)

Пусть на отрезке [a; b] отделен корень с уравнения f (x) = 0 и f — функция непрерывна на отрезке [a; b], а на интервале ]a; b[ существуют отличные от нуля производные f’ и f”.

Так как f’(x) № 0, то запишем уравнение f (x) = 0 в виде: x = x – (f (x) / f’(x)) (1).

Решая его методом итераций, можем записать: xn+1 = xn – (f (xn) / f’(xn)) (2).

Если на отрезке [a;b] f’(x) * f“(x) > 0, то нулевое приближение выбираем x0 = a. Рассмотрим геометрический смысл метода. Рассмотрим график функции y = f (x).

Пусть для определенности f‘(x) > 0 и f“(x) > 0. Проведем касательную к графику функции в точке B (b, f (b)).

Ее уравнение будет иметь вид: y = f (b) + f’(b) * (x – b).

Полагая в уравнении y = 0 и учитывая, что f’ (x) № 0, решаем его относительно x. Получим: x = b – (f (b) / f‘(b)).

Нашли абсциссу x1 точки c1 пересечения касательной с осью ox:

x1 = b – (f (b) – f’ (b)).

Проведем касательную к графику функции в точке b1 (x1; f (x1)).

Найдем абсциссу x2 точки с2 пересечения касательной с осью оx:

x2 = x1 – (f (x1) / (f’ (x1)).

Вообще:

xk+1 = xk – (f (xk) / f’(xk)) (3).

Таким образом, формула (3) дает последовательные приближения (xk) корня, получаемые из уравнения касательной, проведенной к графику функции в точке bk (xk; f (xk0). Метод уточнения корня c [a;b] уравнения f (x) = 0 с помощью формулы (3) называется методом касательной или методом Ньютона.

Геометрический смысл метода касательных состоит в замене дуги y = f (x) касательной, одной к одной из крайних точек. Начальное приближение x0 = a или x0 = b брать таким, чтобы вся последовательность приближения хk принадлежала интервалу ]a;b[.

В случае существования производных f’, f”, сохраняющих свои знаки в интервале, за х0 берется тот конец отрезка [a;b], для которого выполняется условие f’(х0) * f (х0) > 0.

Для оценки приближения используется общая формула:

|c-xk-1| Ј |f (xk+1) / m|, где m = min f’(x) на отрезке [a;b].

На практике проще пользоваться другим правилом. Если на отрезке [a;b] выполняется условие 0 < m < |f (x)| и e — заданная точность решения, то неравенство |xk+1 - xk| Јe влечет выполнение неравенства |c-xk-1| Јe.

В этом случае процесс последовательного приближения продолжают до тех пор, пока не выполнится неравенство:

|c-xk-1| Јe.

Решение нелинейного уравнения аналитически

Рекомендуем скачать другие рефераты по теме: создание реферата, реферат язык.





Предыдущая страница реферата | 1  2  3  4  5  6  7  8  9  10  11 | Следующая страница реферата