Предыдущая страница реферата | 1  2  3  4  5  6 | Следующая страница реферата

Пусть неравенство (1) справедливо при n=k, где k – некоторое натуральное число, т.е.

[pic]. (4)

Докажем, что тогда неравенство (1) должно быть справедливо и при n=k+1, т.е.

[pic] (5)

Умножим обе части неравенства (4) на a+b. Так как, по условию, [pic], то получаем следующее справедливое неравенство:

[pic]. (6)

Для того чтобы доказать справедливость неравенства (5), достаточно показать, что

[pic], (7) или, что то же самое,

[pic]. (8)
Неравенство (8) равносильно неравенству

[pic]. (9)

Если [pic], то [pic], и в левой части неравенства (9) имеем произведение двух положительных чисел. Если [pic], то [pic], и в левой части неравенства (9) имеем произведение двух отрицательных чисел. В обоих случаях неравенство (9) справедливо.

Этим доказано, что из справедливости неравенства (1) при n=k следует его справедливость при n=k+1.

Метод математической индукции в решении задач на делимость.

С помощью метода математической индукции можно доказывать различные утверждения, касающиеся делимости натуральных чисел.

Следующее утверждение можно сравнительно просто доказать. Покажем, как оно получается с помощью метода математической индукции.

Пример 1. Если n – натуральное число, то число [pic] четное.

[pic]При n=1 наше утверждение истинно: [pic]- четное число.
Предположим, что [pic] - четное число. Так как [pic], a 2k – четное число, то и [pic]четное. Итак, четность [pic] доказана при n=1, из четности [pic] выведена четность [pic].Значит, [pic] четно при всех натуральных значениях n.

Пример 2. Доказать истинность предложения

A(n)={число 5[pic] кратно 19}, n – натуральное число.

Решение.

Высказывание А(1)={число [pic]кратно 19} истинно.

Предположим, что для некоторого значения n=k

А(k)={число [pic] кратно 19} истинно. Тогда, так как
[pic], очевидно, что и A(k+1) истинно. Действительно, первое слагаемое делится на 19 в силу предположения, что A(k) истинно; второе слагаемое тоже делится на 19, потому что содержит множитель 19. Оба условия принципа математической индукции выполнены, следовательно, предложение A(n) истинно при всех значениях n.

Доказательство тождеств с помощью метода математической индукции

Доказать , что при всех допустимых значениях x имеет место тождество:

Рекомендуем скачать другие рефераты по теме: управление реферат, реферат решение.





Предыдущая страница реферата | 1  2  3  4  5  6 | Следующая страница реферата