Предыдущая страница реферата | 1  2  3 | Следующая страница реферата

Рассмотрим поля R, Q, и C соответственно вещественных, рациональных и комплексных чисел.

Построенное поле из двух элементов обозначается GF (2).

Если p — простое число, то все вычеты по модулю p, кроме 0, обратимы относительно операции умножения. Любое поле содержит по крайней мере 2 элемента: 0 и e. Этот «минимальный» запас элементов и достаточен для образования поля: операции определяются очевидным образом.

Рассматривая группу  с дополнительной операцией умножения, мы получаем поле из p элементов, которое обозначается GF (p).

Будем считать, что R является ассоциативным коммутативным кольцом. Кольцо матриц ассоциативно, но, вообще говоря, не коммутативно.

Множество  квадратных матриц порядка n с элементами из кольца R образует кольцо относительно операций сложения и умножения матриц.

Если det (A) — обратимый элемент кольца R, то матрица A обратима в кольце матриц: , где  — присоединенная к А матрица.

Если R содержит единицу , то матрица Е = diag (, ,..., ) будет единицей кольца матриц.

Для любой матрицы  имеет смысл понятие определителя det (A)  R, причем det (AB) = det (A) det (B).

 =  — группа матриц порядка n с обратимым определителем. Любая вырожденная матрица будет делителем нуля. В случае поля R это означает, что det (A)  0, то есть матрица невырождена.

В самом деле, из det (A) = 0 следует, что столбцы А линейно зависимы: , причем не все коэффициенты нулевые.

А * В = 0, где А является делителем нуля в том случае, если В — ненулевая матрица.

Подкольцо кольца с единицей может не иметь единицы. Например, подкольцо четных чисел 2 Z  Z не имеет единицы. Более того, может случиться, что и R, и K имеют единицы, но они не равны друг другу.

Например, для подкольца , состоящего из матриц с нулевой последней строкой и последним столбцом,  = diag (1,1,...,1,0)   = diag (1,1,...,1).

Допустим,  — некоторое подкольцо. К, + — подгруппа коммутативной группы R,+, можно образовать факторгруппу R / K, элементами которой являются смежные классы r + K.

Поскольку К * К  К, для произведения двух смежных классов имеет место включение: (r + K) * (s + K)  r * s + r * K + K * s + K.

Подкольцо К называется идеалом кольца R, если  : x * K  K и K * y  K.

Мы видим, что если К является идеалом в R, произведение смежных классов (r + K) * (s + K) содержится в смежном классе r * s + K. Значит, в факторгруппе R / K определена операция умножения, превращающая ее в кольцо, называемое факторкольцом кольца R по идеалу К.

Подкольцом является подмножество , если оно является кольцом относительно тех же операций, которые определены в R.

Согласно данной интерпретации, К является подгруппой аддитивной группы R и замкнуто относительно умножения: .

К будет обладать свойствами ассоциативности, коммутативности или отсутствием делителей нуля, если R обладает такими свойствами.

Отображение, сохраняющее обе кольцевые операции:  и  называется гомоморфизмом колец .

Пусть  — сюръективный гомоморфизм колец. Тогда S изоморфно факторкольцу R / Ker. Если эти изоморфные кольца отождествить, то  отождествляется с естественным гомоморфизмом кольца R на свое факторкольцо.

Ядро группового гомоморфизма аддитивных групп  называется ядром гомоморфизма . Ядро гомоморфизма колец является идеалом.

Пусть  — гомоморфизм колец, I = Ker ,  — любой элемент. Тогда, (x * I) = (x) * (I) = (x) * 0 = 0. Значит, x * I  Ker  = I.

Рекомендуем скачать другие рефераты по теме: готовые рефераты, bestreferat.





Предыдущая страница реферата | 1  2  3 | Следующая страница реферата