Множества с двумя алгебраическими операциями кольца и поля

| Категория реферата: Рефераты по математике
| Теги реферата: реферат по обществознанию, краткий реферат
| Добавил(а) на сайт: Kallista.

Аналогично проверяется, что I * x  I.

Взаимно однозначный гомоморфизм является изоморфизмом.

Отсутствие в R делителей нуля еще не гарантирует их отсутствие в факторкольце. Такие свойства как ассоциативность, коммутативность и наличие единицы сохраняются при переходе к факторкольцу

Приведем примеры.

Всякий ненулевой идеал I в S совпадает со всем полем, если кольцо S является полем. В самом деле, если , x  0, то для всякого  имеем: , откуда .

Если  любой его элемент, то множество I = x * S является идеалом кольца S, называемым главным идеалом с образующим элементом x.

Этот идеал обозначается (x). Если S кольцо с единицей и элемент x обратим, то (x) = S.

Факторкольцо Z / nZ — это множество вычетов по модулю n с операциями сложения и умножения. Идеалом кольца Z является подкольцо nZ, так как для любого целого m m (nZ)  nZ. Если число n не является простым, то Z / nZ имеет делители нуля.

Допустим, что I — идеал кольца R. Тогда, соотнося каждому элементу  смежный класс r + I, получаем сюръективный гомоморфизм , который называется естественным гомоморфизмом кольца на факторкольцо.

Предположим, что I  R [x] является множество всех многочленов , у которых  = 0. Тогда I = xR [x]. Так как p * I = (p * x) R [x]  I, значит, получаем идеал кольца многочленов.

Каждый смежный класс q + I содержит элемент , поэтому (q + I) * (s + I) = (+ I) * (+ I) =  *  + I.