Некоторые дополнительные вычислительные методы

| Категория реферата: Рефераты по математике
| Теги реферата: сочинения по русскому языку, шпаргалки по менеджменту
| Добавил(а) на сайт: Игонин.

Системы линейных уравнений (СЛУ) имеют в вычислениях очень большое значение, так как к ним может быть приведено приближенное решение широкого круга задач. Так, основными источниками возникновения СЛУ являются теория электрических цепей, уравнения балансов и сохранения в механике, гидравлике и т.д. Существует несколько способов решения таких систем, которые в основном делятся на два типа: 1) точные методы, представляющие собой конечные алгоритмы для вычисления корней системы, 2) итерационные методы, позволяющие получать корни системы с заданной точностью путем сходящихся бесконечных процессов. Заметим, что даже результаты точных методов являются приближенными из-за неизбежных округлений. Для итерационных процессов также добавляется погрешность метода.
Пример системы линейных уравнений: [pic]
Или в матричном виде: [pic], где [pic]матрица коэффициентов системы;
[pic] - вектор неизвестных; [pic] - вектор свободных членов.

Схема Халецкого

Запишем систему линейных уравнений в матричном виде: [pic], где A=[aij] – квадратная матрица порядка n и
[pic], [pic] - векторы-столбцы.
Представим матрицу A в виде произведения нижней треугольной матрицы B=[bij] и верхней треугольной матрицы C=[cij] с единичной диагональю [pic], где
[pic] и [pic].
Тогда элементы bij и cij определяются по формулам
[pic] и [pic]
Отсюда искомый вектор x может быть вычислен из уравнений [pic] и [pic].
Так как матрицы B и C – треугольные, то системы легко решаются:
[pic] и [pic]
Из этих двух формул видно, что числа yi выгодно вычислять вместе с коэффициентами cij. Этот метод получил название схемы Халецкого. В схеме применяется обычный контроль с помощью сумм. Если матрица A – симметрическая aij=aji, то [pic]
Пример. Решить систему [pic]
Решение.
В первый раздел таблицы впишем матрицу коэффициентов системы, ее свободные члены и контрольные суммы. Далее так как [pic] [pic], то первый столбец из раздела 1 переносится в первый столбец раздела II. Чтобы получить первую строку раздела II, делим все элементы первой строки раздела I на элемент[pic], в нашем случае на 3.
Имеем: [pic]; [pic]; [pic]; [pic]; [pic].
Переходим к заполнению второго столбца раздела II, начиная со второй строки. Пользуясь формулами, определяем [pic]: [pic]; [pic]; [pic].
Далее определяя по формулам, заполняем вторую сетку для раздела II:
[pic][pic]
[pic]
[pic]
Затем переходим к третьему столбцу, вычисляя его элементы [pic] и [pic] по формулам и т.д., пока не будет заполнена вся таблица раздела II. Таким образом, заполнение раздела II происходит способом “елочки”: столбец - строка, столбец - строка и т.д.
В разделе Ш, пользуясь формулами, определяем [pic] и [pic].
Текущий контроль осуществляется с помощью столбца S, над которым производятся те же действия, что и над столбцом свободных членов.
|0 |1,200|0,000|0,000|
| |0 |0 |0 |
|1 |1,200|1 |0,948|
| |0 |,0600|0 |
|2 |0,999|1,005|0,999|
| |2 |4 |1 |
|3 |0,999|1.000|1,000|
| |6 |1 |1 |
|4 |1 |1,000|1,000|
| |,0000|0 |0 |
|5 |1 |1,000|1,000|
| |,0000|0 |0 |

Точные значения корней: [pic].

2. Методы решения нелинейных уравнений

Как известно, далеко не всякое уравнение f(x)=0 можно решить точно, т.е. не всегда можно найти число [pic] такое что f([pic])?0. В первую очередь это относится к трансцендентным уравнениям. Кроме того, даже для алгебраических уравнений степени выше четвертой не существуют формулы, выражающей их решения через коэффициенты уравнения при помощи арифметических операций и извлечение корней. Для уравнений третьей и четвертой степени формулы для отыскания корней существуют, но они настолько сложны, что практически не применяются. Поэтому большое значение имеет приближенное вычисление корней уравнения f(x)=0. Для этого существует множество методов некоторые, из которых мы рассмотрим.

Метод хорд

Пусть дано уравнение f(x)=0, где функция f(x) определена и непрерывна на интервале
[a, b] и f(a)f(b)