Предыдущая страница реферата | 1  2  3  4  5  6  7  8  9  10 | Следующая страница реферата



Теорема Гельмгольца

Всякое однозначное и непрерывное векторное поле F, обращающееся в ноль в бесконечности, может быть представлено, и притом единственным образом, в виде суммы градиента некоторой скалярной функции j и ротора некоторой векторной функции A , дивергенция которой равна нулю:

F = grad j + rot A ,

div A = 0,

где:

j . скалярный потенциал поля F,

A . векторный потенциал поля F,

при условии что:

и эти интегралы предполагаются существующими [2, г].

Тогда, согласно основной задаче теории поля, для отыскания распределения поля вектора F в пространстве необходимо задать распределение в этом пространстве источников (возбудителей) поля вектора F, т.е. значения функций div(gradj) и rot(rotA), составляя дифференциальные уравнения в частных производных, решением которых с соответствующими краевыми, и начальными условиями и будет поле искомого вектора F.

Очевидно, что задача однородного распределения источников поля в бесконечном пространстве, т.е. удовлетворяющая след. соотношению:

не рассматривается, как не имеющая физического смысла и приводящая к математическим парадоксам.

При решении различных прикладных задач часто используется широко распространенное заблуждение об условности разделения полей на градиентные и вихревые, основанное на неверной интерпретации суперпозиции вихревого и градиентного полей, имеющей место в определении вектора поля в общем виде (теорема Гельмгольца). Рассмотрим возможность подобной интерпретации. Пусть мы имеем некоторое поле вектора F, удовлетворяющее следующему условию:

Подействуем оператором " rot " на данный вектор,

Т.к. ротор градиента j тождественно равен нулю, ротор ротора A тоже равен нулю по всему пространству существования вектора A .

Подействуем оператором "div" на вектор F,

но, дивергенция ротора тождественно равна нулю, следовательно, дивергенция градиента j тоже равна нулю по всему пространству существования поля градиента j .

Из полученных соотношений видно, что, если разделение полей на градиентные и вихревые условно, то отвечающее этому условию векторное поле не имеет источников в пространстве существования поля и, следовательно, не является объектом классической теории поля, как не отвечающее основной задаче теории поля. Условность разделения полей на градиентные и вихревые, выполняется также при тождественном равенстве нулю поля F.

Таким образом, в рамках основной задачи классической теории поля не существует отличных от нуля полей, для которых выполнялась бы условность разделения полей на градиентные и вихревые, и, следовательно, разделение полей на градиентные и вихревые не условно, а фундаментально.

3. Действие дифференциальных операторов на вектор, заданный в общем виде.

В дальнейшей росписи действий операторов на вектор, заданный в общем виде, его составляющие будут заключены в круглые скобки исключительно с целью указания на то, что заключенные в них операторы "grad" и "rot" не будут нами расписываться, а нужны только для обозначения градиентной и вихревой составляющей вектора.

а) Действие оператора "rot" на вектор в общем виде:

Рекомендуем скачать другие рефераты по теме: конспект 2 класс, ответы по контрольной.





Предыдущая страница реферата | 1  2  3  4  5  6  7  8  9  10 | Следующая страница реферата