Предыдущая страница реферата | 1  2  3  4  5  6 | Следующая страница реферата

[pic] (3)
Пусть [pic]- не все равные между собой положительные числа. Тогда существуют положительные числа [pic] и [pic], не все равные между собой, такие, что [pic]. К этим числам применим тождество (1). Так как не все числа [pic] между собой равны, то последний сомножитель правой части тождества (1) есть число положительное и, следовательно,

[pic],

[pic]. (4)
Так как [pic], то неравенство (4) дает неравенство (3). (Неравенство (3) можно переписать в виде [pic]; получим известный факт о том, что среднее арифметическое трех положительных, не равных между собой чисел больше их среднего геометрического).

Пусть [pic] и [pic]- натуральные числа, удовлетворяющие уравнению
(2). Представляются две возможности: либо числа [pic] все равны между собой, либо не все эти числа равны друг другу.

В первом случае все они должны быть равны 1, так как она положительные и [pic], и мы имели бы:

[pic]- противоречие.

Значит, не все три числа [pic] равны между собой; поэтому в силу неравенства (3) имеем

[pic],

откуда

[pic].
Таким образом, доказано что уравнение

[pic] не имеет решений в натуральных числах [pic].

Предложение 2. Уравнение

[pic] разрешимо в натуральных числах [pic].

Доказательство: удовлетворяют нашему уравнению. Если не все три числа
[pic] между собой равны, то как мы видели в ходе доказательства Предложения
(1), выполняется неравенство

[pic]
- противоречие. Таким образом, должно быть [pic], и из нашего уравнения следует, что каждое из этих чисел равно 1, так что [pic].
Поэтому получаем

[pic].

Итак, мы доказали, что заданное уравнение имеет бесконечно много решений в натуральных числах [pic].

Предложение 3. Произведение двух чисел, каждое из которых является суммой двух квадратов, представимо в виде суммы двух квадратов.

Доказательство: Рассмотрим следующее произведение двух циклических матриц (второго порядка)

[pic] где [pic]- мнимая единица. Переходя к определителям, получим равенство

[pic]. (5)

Предложение 4. Если число представляемое в виде суммы двух квадратов, делится на простое число, являющееся суммой двух квадратов, то частное также является суммой двух квадратов.

Доказательство: Пусть число [pic] делится на простое число [pic] вида
[pic]:

[pic].
Требуется доказать, что частное [pic] имеет вид [pic].
Предположим, что задача уже решена, т.е.

[pic], (6) и с помощью анализа попробуем найти искомые числа [pic] и [pic].
Гипотетическое равенство (6) подсказывает целесообразность рассмотрения матричных равенств.

Рекомендуем скачать другие рефераты по теме: конспект урока 9 класс, сочинение 6 класс.





Предыдущая страница реферата | 1  2  3  4  5  6 | Следующая страница реферата