Обучение решению математических задач с помощью графов

Е.А. Кудревич, А.Е. Поличка, кафедра математического анализа ХГПУ

При подготовке учащихся к математической олимпиаде часто сталкиваешься с проблемой- каким методам решения задач уделить больше времени. Можно предложить, например, такие критерии: чтобы детям было интересно, чтобы данным методом решался большой круг задач, чтобы можно было использовать исторический материал и т. п. Всем этим критериям в полной мере удовлетворяет метод, основанный на применении графов. Один из авторов предлагаемой вниманию читателей статьи – декан физико-математического факультета ХГПУ Анатолий Егорович Поличка несколько лет преподает школьникам и студентам элементы теории графов и учит их применять графы к решению задач. Более того, он активно привлекает к этому делу своих учеников – студентов ХГПУ.

Как и в спорте, тренировка юного математика требует затраты большого времени. Для успеха на олимпиаде необходимы некоторые специальные типы одаренности.

Не следует забывать о том, что не всякий может в непривычной и суровой атмосфере олимпиадного конкурса продемонстрировать все, на что он способен. Как правило конкурсный КПД оказывается значительной ниже 100%. В связи с этим, полезно располагать хотя бы некоторым запасом прочности, чтобы быть застрахованным от случайности.

Теперь можно точнее сформулировать основную задачу факультатива: как можно полнее развить потенциальные творческие способности каждого слушателя факультатива, не ограничивая заранее сверху уровень сложности используемого задачного материала. Как видно, личная цель – подготовка к олимпиаде – совпадает с общественной – повышения уровня математической подготовки учащихся средней школы.

Обращаю внимание на то, что олимпиады проверяют в отличии от экзаменов сообразительность, а не выучку; поэтому самое лучшее – если школьник, не рассчитывая на свои знания, разовьет все свои способности, на которых бы основывались "экспромты".

Решение задач – это работа несколько необычная, а именно умственная работа. А чтобы научиться какой-либо работе, нужно предварительно хорошо изучить тот материал, над которым придется работать, те инструменты с помощью которых выполняется эта работа.

Значит, для того чтобы научиться решать задачи, надо разобраться в том, что собой они представляют, как они устроены, из каких составных частей они состоят, каковы инструменты, с помощью которых производится решение задач.

Решая практические задачи с помощью теории графов ясно видно, что в каждом шаге, в каждом этапе ее решения необходимо применить творчество. С самого начала, на 1 этапе, оно заключается в том, суметь проанализировать и закодировать условия задачи. Второй этап – схематическая запись. состоит в геометрическом представлении графов, и на этом этапе элемент творчества очень важен потому, что далеко не просто найти соответствия между элементами условия и соответствующими элементами графа.

Все остальные этапы тоже не обходятся без применения творчества и изобретательности. Проведение поиска способа и осуществления решения задачи (с проверкой и исследованием) нуждается в следующих способностях решающих: способность абстрагирования, способность моделирования, способность гибкого применения теории графов, способность применения всех известных математических способов решения. Бесспорно, формулирование ответа задачи это тоже творческое изобретение, т.к. также необходима и кодировка и абстрагирование. Заключительный анализ задачи тоже не легок, необходимо творчески найти то рациональное зерно, по которому можно будет определить к какому типу задач относится данная решенная.

По данной проблеме разработаны следующие классификации: