Определение законов распределения случайных величин и их числовых характеристик на основе опытных данных. Проверка статистических гипотез

| Категория реферата: Рефераты по математике
| Теги реферата: диплом на заказ, возраст реферат
| Добавил(а) на сайт: Проскура.

|№ |Границы |Середина |Количество |Частота для |
|пр-ка|промежутка |промежутка |элементов выборки|промежутка |
| |[pic] |[pic] |в промежутке |[pic] |
| | | |[pic] | |
|1 |-8 ; 0 |-4 |4 |0.0333 |
|2 |-0 ; 8 |4 |15 |0.1250 |
|3 |8 ; 16 |12 |19 |0.1583 |
|4 |16 ; 24 |20 |25 |0.2083 |
|5 |24 ; 32 |28 |24 |0.2000 |
|6 |32 ; 40 |36 |17 |0.1417 |
|7 |40 ; 48 |44 |8 |0.0667 |
|8 |48 ; 56 |52 |8 |0.0667 |

Сгруппировав элементы получим статистический ряд распределения случайной величины [pic]
|№ |Границы |Середина |Количество |Частота для |
|пр-ка|промежутка |промежутка |элементов выборки|промежутка |
| |[pic] |[pic] |в промежутке |[pic] |
| | | |[pic] | |
|1 |0; 9 |4,5 |7 |0.1167 |
|2 |9 ; 18 |13,5 |16 |0.2667 |
|3 |18 ; 27 |22,5 |19 |0.3167 |
|4 |27 ; 36 |31,5 |6 |0.1000 |
|5 |36 ; 45 |40,5 |6 |0.1000 |
|6 |45 ; 54 |49,5 |5 |0.0833 |
|7 |54 ; 63 |58,5 |1 |0.0167 |

3. Построить гистограммы распределения случайных величин [pic] и [pic].
Гистограммы распределения приведены на графиках с теоретическими функциями распределения.

4. Найти выборочное среднее [pic], [pic] и исправленные выборочные среднеквадратические отклонения: [pic], [pic] случайных величин [pic] и [pic].
Выборочное среднее [pic] случайной величины [pic] равно

[pic]
Выборочное среднее[pic] случайно величины [pic] равно

[pic]
Найдем исправленное среднеквадратическое отклонение [pic] случайной величины [pic]:

[pic]=14.3632

Найдем исправленное среднеквадратическое отклонение [pic] случайной величины [pic]:

[pic]=13.5727

5. Проверить, используя метод [pic] гипотезу о нормальном распределении, каждой из случайных величин [pic] и [pic] при уровне значимости [pic].
Проверим гипотезу о нормальном распределении случайной величины [pic].
Используя предполагаемый закон распределения, вычислим теоретические частоты по формуле
[pic], где [pic] - объем выборки, [pic] - шаг (разность между двумя соседними вариантами, [pic], [pic]

Построим вспомогательную таблицу:
|[pic] |[pic] |[pic] |[pic] |[pic] |[pic] |
|1 |4 |-1.9169 | 4.2461 |0.0606 |0.014 |
|2 |15 |-1.3600 |10.5760 |19.572 |1.850 |
|3 |19 |-0.8030 |19.3161 |0.0999 |0.005 |
|4 |25 |-0.2460 |25.8695 |0.7561 |0.0292 |
|5 |24 |0.3110 |25.4056 |1.9757 |0.0778 |
|6 |17 |0.8680 |18.2954 |1.6780 |0.0917 |
|7 |8 |1.4249 |9.6610 |2.7590 |0.2856 |
|8 |8 |1.9819 |3.7409 |18.139 |4.8491 |

В итоге получим [pic]= 7,2035
По таблице критических точек распределения [pic] ([1], стр. 465), по уровню значимости [pic]=0,05 и числу степеней свободы 8-3=5 находим

[pic]

Т.к. [pic], экспериментальные данные не противоречат гипотезе и о нормальном распределении случайной величины [pic].

Для случайной величины [pic]:

Используя предполагаемый закон распределения, вычислим теоретические частоты по формуле
[pic], где [pic] - объем выборки, [pic] - шаг (разность между двумя соседними вариантами, [pic], [pic]

|[pic] |[pic] |[pic] |[pic] |[pic] |[pic] |
|1 |7 |-1.4036 |5.9274 |1.1504 |0.1941 |
|2 |16 |-0.7405 |12.0665 |15.4725 |1.2823 |
|3 |19 |-0.0774 |15.8248 |10.0820 |0.6371 |
|4 |6 |0.5857 |13.3702 |54.3197 |4.0627 |
|5 |6 |1.2488 |7.2775 |1.6319 |0.2242 |
|6 |5 |1.9119 |2.5519 |5.9932 |2.3485 |
|7 |1 |2.5750 |0.5765 |0.1794 |0.3111 |

В итоге получим [pic]= 8.1783
По таблице критических точек распределения [pic] ([1], стр. 465), по уровню значимости [pic]=0,05 и числу степеней свободы 7 - 3=4 находим

[pic]
Т.к. [pic], экспериментальные данные не противоречат гипотезе и о нормальном распределении случайной величины [pic].

6. Построить график функции плотности распределения [pic] случайной величины [pic] в одной системе координат с гистограммой.([pic] взяв в качестве математического ожидания и дисперсии их статистические оценки

[pic] и [pic]) и вычислив значение функции [pic] в точках: [pic],

[pic], а также в точке левее первого и правее правого промежутка группировки.

7. Выполнить задание 6 для случайной величины [pic].

8. Найти доверительные интервалы для математических ожиданий и дисперсий случайных величин [pic] и [pic], соответствующие доверительной вероятности [pic].
Найдем доверительный интервал для математического ожидания [pic]:
Рассмотрим статистику [pic], имеющую распределение Стъюдента с [pic] степенями свободы. Тогда требуемый доверительный интервал определится неравенством [pic]. И доверительный интервал для [pic] выглядит следующим образом:

[pic]
Найдем [pic]по таблицам ([2], стр. 391). По [pic]=0,95 и [pic]=120 находим: [pic]=1,980. Тогда требуемый доверительный интервал примет вид: