Основная теорема алгебры

Всякий многочлен с любыми комплексными коэффициентами , степень которого не меньше единицы имеет хотя бы один корень, в общем случае комплексный.

План доказательства.

Лемма №1. Многочлен f(x) является непрерывной функцией комплексного переменного x.

Лемма №2. Если данн многочлен n-ой степени, n>0,

f(x)=a0xn+a1xn-1+…+an

с произвольными комплексными коэффициентами и если k- любое положительное действительное число, то для достаточно больших по модулю значений

|anxn|>k|axn-1+anxn-2+….+a0|

Лемма №3.

Лемма №4.(Лемма Даламбера).

Лемма №5.

Если действительная функция комплексного переменного f(x) непрерывна в замкнутом круге Е, то она ограничена.

Лемма №6.

Действительная функция комплексного переменного f(x) непрерывная в замкнутом круге Е достигает своего минимума и максимума.

Доказательство основной теоремы.

Лемма №1.

Надо доказать, что |f(x0+x)-f(x0)|<e.

Докажем Лемму №1 сначала для многочлена без свободного члена и при x0=0

ЕслиA=max(|a0 |,|a1|,…,|a n-1|) и (1)

то |f(x)|=|a0xn+…+an-1x|

,

т.к |x|<б ,и из (1) б<1, то

т.к. a0=0 то f(0)=0

Что и требовалось доказать.

Теперь докажем непрерывность любого многочлена.

f(x0+x)=a0(x0+x)n+…+an

Рекомендуем скачать другие рефераты по теме: реферат система управления, новшество.





1  2  3  4 | Следующая страница реферата