Предыдущая страница реферата | 1  2  3 | Следующая страница реферата

 Помимо определения фрактальной размерности по формуле (3), была использована вторая независимая методика, основанная на следующем. Если посчитать число пересечений N руслами рукавов произвольного периметра линейным размером R, то они связаны между собой степенным образом:

N ~ R  n  ,  n  = 2 ( D - 1 ).     (7)

Качественно результат можно обосновать следующим образом.  Для обычных евклидовых линий число N не должно зависеть от R, т.е. при  D = 1 должно быть n  = 0. Если линия заполняет всю плоскость, т.е.  D  = 2, то  N  будет квадратично зависеть от области, т.е. n  = 2. Предполагая линейную зависимость между n  и D, приходим к результату (7). При более строгом подходе необходимо было бы использовать понятие фрактальной производной [4]. В качестве примера приведем фрактальную производную от степенной функции:

.

В частности, полученная формула позволяет дать геометрическую интерпретацию фрактальной производной: так, для обычной производной из площади круга получают длину окружности, а фрактальной производной из длины R D получают канторовское множество R 2 ( D - 1 ) . Само число всех пересечений представляет пример канторовского множества. По этой методике для дельты Селенги было получено n  = 0.74, и для дельты Волги n  = 1.44. Используя эти значения, находим D  = 1 + n / 2 = 1.37 и  D = 1.72  для Селенги и Волги соответственно, что согласуются с выше приведенными значениями. Заметим, что методически производить подсчет по формуле (7) много легче, чем использовать (6). В качестве иллюстрации была рассчитана фрактальная размерность плоскостной проекции микроразрядов в фотопластинке (стримерные каналы), изображение которых представлена на рис. 2 в [10]. Здесь оказалось 

n  =  0.768 ¦ 0.008 и  D  = 1 + n / 2 = 1.38 ¦ 0.01.

Фрактальное исчисление. По определению, длина есть сумма всех масштабов, т.е., где сумма берется от 1 до N ( d ). Поскольку априори считается N >> 1, то сумму можно заменить некоторым интегралом, который назовем фрактальным, а способ его вычисления - фрактальным исчислением. Итак, определяем

.     (8)

Обратим внимание на то, что значок D, указывающий на фрактальную размерность, пишется снизу дифференциала d. Поскольку длина фрактальной линии есть C × d   1-D, то приходим к следующему, первому правилу фрактального исчисления - правилу интегрирования линейной функции:

= C × d   1-D.                                                    (9)

Проведем в этой формуле масштабное преобразование: = C×(ld) 1-D. Выражение справа есть l1-D×C × d   1-D, или, с учетом (9), l1-D× =. Сравнивая с исходным выражением, приходим к следующему закону для фрактального дифференциала:

.

В этом выражении отчетливо видно отличие фрактального дифференциала от дифференциала дробного порядка [11], для последнего. В общем случае для степенной функции можно получить следующее правило фрактального интегрирования:

= C × d   n-D.                                                 (10)

Элементарные функции. Фрактальный интеграл от степенной функции получается элементарно. Для этого в выражении (10) достаточно переобозначить d на x:

= C × x   n-D.                                                  (11)

Для вычисления фрактального интеграла от экспоненциальной функции экспоненту необходимо разложить в ряд, далее применяя для каждого члена ряда формулу (11), окончательно получаем

.                                                     (12)

Видим, что экспонента после фрактального интегрирования приобрела нелинейный множитель. Постоянные интегрирования здесь не выписываем, если судить по дробному интегродифференциальному исчислению [11], вопрос о постоянной интегрирования неоднозначен. Интегрирование от тригонометрических функций продемонстрируем на синусе. Представляя функцию синус в экспоненциальной форме и применяя результат (12), в итоге получаем

В этом выражении легко узнать одно из слагаемых в ряде, представляющей нигде не дифференцируемую функцию Вейерштрасса [1,2].

Фрактальное дифференцирование. Как и в обычном случае, будем считать, что фрактальное дифференцирование - это обратная к интегрированию операция. Таким образом, полагаем, что

.

Теперь легко можно установить правила фрактального дифференцирования элементарных функций. Опуская простые вычисления, приведем результаты:

,

Рекомендуем скачать другие рефераты по теме: 5 баллов, антикризисное управление.





Предыдущая страница реферата | 1  2  3 | Следующая страница реферата