Поверхности 2-го порядка

| Категория реферата: Рефераты по математике
| Теги реферата: список рефератов, решебник по математике
| Добавил(а) на сайт: Каримов.

из которых следует, что плоскость z=h пересекает гиперболоид по эллипсу с полуосями [pic] и [pic], достигающими своих наименьших значений при h=0, т.е. в сечении данного гиперболоида координатной осью Oxy получается самый маленький эллипс с полуосями a*=a и b*=b. При бесконечном возрастании [pic] величины a* и b* возрастают бесконечно.
Таким образом, рассмотренные сечения позволяют изобразить однополосный гиперболоид в виде бесконечной трубки, бесконечно расширяющейся по мере удаления (по обе стороны) от плоскости Oxy.
Величины a, b, c называются полуосями однополосного гиперболоида.

3. Двуполостный гиперболоид.

Двуполостным гиперболоидом называется поверхность, которая в некоторой прямоугольной системе координат определяется уравнением

[pic] (5)

Уравнение (5) называется каноническим уравнением двуполостного гиперболоида.

Установим геометрический вид поверхности (5). Для этого рассмотрим его сечения координатными плоскостями Oxy и Oyz. Получаем соответственно уравнения

[pic] и [pic] из которых следует, что в сечениях получаются гиперболы.

Теперь рассмотрим сечения данного гиперболоида плоскостями z=h, параллельными координатной плоскости Oxy. Линия, полученная в сечении, определяется уравнениями

[pic] или [pic] (6) из которых следует, что при [pic]>c (c>0) плоскость z=h пересекает гиперболоид по эллипсу с полуосями [pic] и [pic]. При увеличении [pic] величины a* и b* тоже увеличиваются.
При [pic] уравнениям (6) удовлетворяют координаты только двух точек:
(0;0;+с) и (0;0;-с) (плоскости [pic] касаются данной поверхности).
При [pic] уравнения (6) определяют мнимый эллипс, т.е. точек пересечения плоскости z=h с данным гиперболоидом не существует.
Величина a, b и c называются полуосями двуполостного гиперболоида.

4. Эллиптический параболоид.

Эллиптическим параболоидом называется поверхность, которая в некоторой прямоугольной системе координат определяется уравнением

[pic] (7) где p>0 и q>0.

Уравнение (7) называется каноническим уравнением эллиптического параболоида.

Рассмотрим сечения данной поверхности координатными плоскостями Oxy и
Oyz. Получаем соответственно уравнения

[pic] и [pic] из которых следует, что в сечениях получаются параболы, симметричные относительно оси Oz, с вершинами в начале координат.
Теперь рассмотрим сечения данного параболоида плоскостями z=h, параллельными координатной плоскости Oxy. Линия, получающаяся в сечении, определяется уравнениями

Уравнение (9) называется каноническим уравнением гиперболического параболоида.

Рассмотрим сечение параболоида плоскостью Oxz (y=0). Получаем уравнение

[pic] (10) из которых следует, что в сечении получается парабола, направленная вверх, симметричная относительно оси Oz, с вершиной в начале координат. В сечениях поверхности плоскостями, параллельными плоскости Oxz (y=h), получаются так же направленные вверх параболы.

[pic] рассмотрим сечение данного параболоида плоскостью Oyz (x=0).
Получаем уравнение

[pic] из которых следует, что и в этом случае в сечении получается парабола, но теперь направленная вниз, симметричная относительно оси Oz, с вершиной в начале координат. Рассмотрев сечения параболоида плоскостями, параллельными плоскости Oyz (x=h), получим уравнения

[pic] из которых следует, что при любом h в сечении получается парабола, направленная вниз, а вершина её лежит на параболе, определённой уравнениями
(10).
Рассмотрим сечения параболоида плоскостями z=h, параллельными плоскости Oxy
. получим уравнения

[pic] или [pic] из которых следует, что при h>0 в сечении получаются гиперболы, пересекающие плоскость Oxy; при h0 и h